一元二次方程复习知识点和习题(包括答案).doc
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1、一元二次方程复习一) 一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式,只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。这三个方程都是一元二次方程。求根公式为二)。a是二次项系数;b是一次项系数;c是常数项,注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢?1、当0时方程有2个不相等的实数根;2、当0时方程有两个相等的实数根;3、当 0时方程无实数根.4、当0时方程有两个实数根(方程有实数根);5、ac0)0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0负根绝对值较大(正根绝对值较小)b0一根为0另一个根为负根b0有两个相等的负根
2、b01有两个不相等的负实数根 x1.x20 x1+x202有两个不相等的正实数根 x1.x20 x1+x20 03负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2 0 x1+x204两个异号根正的绝对值较大 x1.x20 05两根异号,但绝对值相等 x1.x206一个负根,一个零根 x1.x2 0 x1+x20 x1+x20 08有两个相等的负根 x1.x20 x1+x20 x1+x20010有两个相的等的根都为零 x1.x20x1+x20011两根互为倒数 x1.x21 12两根互为相反数 0 x1+x2013两根异号 0 14两根同号 0 x1.x2015有一根为零 0 x1.x20 16有一根为
3、-1 0 a-b+c=017无实数根 0 19 ax2+bx+c (a0)这个二次三项式是完全平方式 020方程ax2+bx+c 0 (a0)(a、b、c都是有理数)的根为有理根,则是一个完全平方式。21方程ax2+bx+c 0 (a0)的两根之差的绝对值为:22 0,方程ax2+bx+c 0 (a0)有相等的两个实数根。23 0, 方程ax2+bx+c 0 (a0)无实数根.24方程ax2+bx+c 0 (a0)一定有一根为“1” 0 a+b+c=025方程ax2+bx+c 0 (a0)的解为26方程ax2+bx+c 0 (a0)若0则 注:凡是题中出现了x1.x20 即a、c异号方程必有解
4、。1例题 m为何值时,方程 有两个相等的实数根;无实数根;有两个不相等的实数根;有一根为0;两根同号;有一个正根一个负根;两根互为倒数。2例题k为何值时关于x的方程(m为有理数)的根为有理数。3例题不论m为何值时都可以分解成二个一次因式的积4例题 已知方程的两根一个大于1,另一个根小于1,求m的值的范围。5例题已知方程ax2+bx+c 0 (a0)的实数根为m、n求下列对称式子的值;。6例题已知实数a、b满足,且求的值。7例题已知 其中p、q为实数。求的值。8用配方法求下面关于x的一元二次方程ax2+bx+c 0 (a0)9已知是一个完全平方式,若a0试证明:方程无实数解。10已知关于x的方程
5、有两个不相等的实数根,(1)求k的取值范围。(2)化简11、求非对称性式子的值(解题思想是逐次降次)例1已知例2设a、b是方程的两个实数根,求的值。12用适当的方法解下列方程(说明选用的理由) 六)“归旧”思想在解一元二次方程中的应用 “归旧”就是把待解决的问题,通过某种转化,归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法,这几种解法,都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法:适用于等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负实数的形式,形如(mx+n)2=p (m0,p0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两
6、个一元一次方程去解,即有一元一次方程为mx+n=,分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。用简明图表可表示为:直接开平方法:形如(mx+n)2=p (m0,p0)两个一元一次方程。配方法:最适用于二次项系数为1,一次项系数为偶数的形式的一元二次方程,形如x2+2kx+m=0(当然一般的形如ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合适的方法)。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段,把原方程“归旧”为上述形如(mx+n)2=p (m0,p0) 的方程,然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为:配方法:一元二次方程 形如(mx+n)2=p (m0,p0)的方程因式分解法:这
7、种方法平时用的最多,最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段,把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程,从而“归旧”为a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ,再分别求出这两个一元一次方程的根,就得到原一元二次方程的两个解。用简明图表可表示为: 因式分解法:一元二次方程两个一元一次方程 公式法:公式法的实质就是配方法,只不过在解题时省去了配方的过程,所以解法简单。但计算量较大,只有在不便运用上述三种方法,且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。由此可见以上四种解法都是运用了归旧的数
8、学思想,把新东西转换成熟悉的旧的东西 去解决。归旧思想在初中数学中还有许多运用:如解二元一次方程归旧为一元一次方程,分式方程归旧为整式方程,二元二次方程组归旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程,平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问题等,由此可见熟练掌握归旧数学思想,对增强解题能力,改善知识结构,提高数学素养大有裨益。一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意
9、;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注:列方程解应用题的关键是: 找出等量关系;所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数),用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。二、一元二次方程,其应用题的范围也比较广泛,归纳起来可大致有以下几种类型:一)求互相联系的两数(数与数字方面的应用题):连续的整数:设其中一数为x,另一数为x+1;(x-1,x,x+1)。连续的奇数:设其中一数为x,另一数为x+2;(x-2,x,x+2)。连续的偶数:设其中一数为x
10、,另一数为x+2;(x-2,x,x+2)。和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax(x/a)例:两个相邻偶数的积是168,求这两个偶数。解:设其中一数为x,另一数为x+2,依题意得:x(x+2)168x2+2x-168=0(x-12)(x+14)0x1=12,x2 =14当x12时,另一数为14;当x-14时,另一数为-12.答:这两个偶数分别为12、14或-14、-12.二)百分数应用题(含增长率方面的题型)三)传染问题
11、:(几何级数)传染源:1个【 每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1:(1+x)】患者: 第一轮后:共(1+x)个第二轮后:共(1+x)(1+x),即(1+x)2个第三轮后:共(1+x)(1+x)(1+x),即(1+x)3个第n轮后:共(1+x)n个注意:上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a,则第n轮后患者共为:a(1+X)n个例:某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?解:(1)设每轮感染中平均
12、一台电脑会感染x台电脑,依题意得:(1+X)2=81解得:x=8或-10(负值不合题意,舍去)解(2)(1+8)3=93=729700,若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台。四)银行利率应用题(含利滚利问题):年利息本金年利率(年利率为a%)存一年的本息和:本金(1+年利率) ,即本金(1+ a%)存两年的本息和:本金(1+年利率)2, 即本金(1+a%)2存三年的本息和:本金(1+年利率)3, 即本金(1+a%)3存n年的本息和:本金(1+年利率)n, 即本金(1+a%)n例:我村2006年的人均收入为1200元,2008年的人均收入为1452元,求人均收入的年平均增
13、长率。解:设均收入的年平均增长率,则1200(1+x)2=1452解得:X1=0.1,X2=-2.1(不合题意,舍去)人均收入的年平均增长率为10%。五)销售利润方案类题(含薄利多销问题及价格与销量问题)六)函数与方程七)信息题八)背景题九)古诗题十)象棋比赛题十一)几何类题:等积变形,动态几何问题,梯子问题,航海问题,几何与图表信息,探索存在问题,平分几何图形的周长与面积积问题,利用图形探索规律最常见的如:求直角三角形的边。面积S一定,两直角边和(和为a)一定:设其中一边为x,另一边为a-x,则x(a-x)=S面积S一定,两直角边差(差为a)一定:设其中一边为x,另一边为x+a或(X-a)则
14、x(x+a)=S或x(x-a)=S斜边c一定,两直角边和(和为a)一定:设其中一边为x,另一边为a-x,则x2+(a-x)2=c2斜边c一定,两直角边差(差为a)一定:设其中一边为x,另一边为x+a或x-a则x2+(x+a)2=c2或x2+(x-a)2=c2例:一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积是9cm,求较长的直角边的长。解:设较短的直角边的长为x厘米,较长的直角边的长为(x3)厘米,根据三角形的面积公式,得x(x+3)=9解得:X=3或X=-6(不合题意,舍去)故X=3,X+3=6所以较长的直角的边长为6厘米。常见的还有就是:求矩形的边:例:利用一面墙(墙的长度不限),用20m长的
15、篱笆,怎样围成一个面积为50m2的矩形场地?解:设靠墙的一边为x x(20-2x)=20解得:x=5设靠墙的两边为5m,另一边为10m十二)赛制循环问题:单循环:设参加的球队为x,则全部比赛共 x(x-1)场;双循环:设参加的球队为x,则全部比赛共x(x-1)场;【单循环比双循环少了一半】例:参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人握手10次,有多少人参加聚会?解:设一共有x人x(x-1)=10解得:x=5 或x=-4(不合题意,舍去)一共有5人三、应用举例一)数字型1、 两个数的和是7,积是12,则这两个数是多少?2、5个连续正整数,前3个数的平方和比后两个数的积小1,这5个连续正整数分别是
16、多少?3、一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,求这个两位数是多少?二)百分数应用题(含增长率方面的)题型1、 某企业2004年初投资100万元生产适销对路的产品,2004年底将获得的利润与年初的投资和作2005年的投资,到2005年底,两年共获利润为56万元,已知2005年的年获利比2004的年获利率多10个百分点(即2005的年获利率是2004年的年获利率与10%的和),求2004年和2005年获利率各是多少?2、 某工厂一月份生产某种机器100台,计划二、三月份共生产231台。设二、三月份每月的平均增长率为X,求增长率为多少?3、 某市
17、土地沙漠化严重,2005年沙漠化土地面积为100Km2,经过综合治理,希望到2007年沙漠化土地面积降到81 Km2,如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同,求每年的沙漠化土地的降低百分率。三)传染病毒应用题1、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过720台?2、 中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病,在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡?四) 银行利率应用
18、题1、 某人将2000元按一年定期存入银行。到期后取出1000元,并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行,到期后取得本息共计1091.8元。求银行一年定期储蓄的年利率是多少?五)销售利润方案类题(1)经济类一1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元? 解:设每件售价x元,则每件利润为x-8, 每天销售量则为所以每天利润为640元时, 则根据:(每天销售量)(每件利润)= 每天利润 故有:则有x2-28x+
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