探究规律题型方法总结和练习.doc
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1、探究规律题型方法总结和练习一、教学内容:规律探究型问题1. 图案变化规律2. 数列、代数式运算规律3. 几何变化规律4. 探索研究 二、知识要点:近年来,探索规律的题目成为数学中考的一个热点,目的是考查学生观察分析及探索的能力. 题目分为题设和结论两部分,通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系,通过观察分析,要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想,体现了数学思想从特殊到一般的发现规律。是中考的一个难点,越来越引起考生重视。下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。“规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点,分别从直观形象和抽象符号上进行规律
2、探索,突出数学的生活化,给学生提供更多机会体验学习和探索的“过程”与“经历”,使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验,使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维,进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。现就规律探究的几个例子,来探讨一下这类专题:一、规律探索型问题的分类:1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的
3、数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式。如:1、有一串单项式:a,2a2,3a3,4a4,19a19,20a20,那么第n个单项式是 。2、争当小高斯:高斯在10岁的时候,曾计算出1+2+3+4+100=_;还有另外一种解法:设S= 1+2+3+99+100,那么也可以写成S=100+99+98+97+2+1,把这两个等式左右两边分别相加,可以得到2S= (1+100)+(2+99)+(3+97)+ +(99+2) +(100+1),2S=100101,S= 由此,猜想前n个自然数和:1+2+3+4+n=_,前n个偶数和:2+4+6+8+2n=_,前n个奇数和:1+3+5+7+ 9+ (
4、2n-1) =_.猜想归纳是解决这类问题的有效方法,通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合,作出符合一定规律与事实的推测性想象,从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本,可以设计一些猜想性、类比性的活动,让学生经历一个观察、试验等活动过程,在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论,从而探索事物的内在规律.2、图形规律根据一组相关图形的变化规律,从中总结图形变化所反映的规律。解决这类图形规律问题的方法有两种,一种是数图形,将图形转化成数字规律,再用数字规律的解决问题,一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律。如:1
5、、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律,写出第n个小房子用了_块石子。2、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图: 经观察可以发现:图(2)比图(1)多出2个“树枝”,图(3)比图(2)多出5个“树枝”,图(4)比图(3)多出10个“树枝”,照此规律,图(7)比图(6)多出 个“树枝”图案、图表具有直观、形象、简明,包含的信息量多等特点,解决此类问题需要把“形”转化为“数”,考查学生数形结合的数学思想。 二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目,都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律,多数情况下,是指变量的变化规律.所以,抓住了变量,就等于抓住
6、了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出,揭示的规律,常常包含着事物的序列号.如:一组按规律排列的式子:,(),其中第7个式子是 ,第个式子是 (为正整数)分子和分母的底数没变,变化的是符号及它们的指数,再把变量和序列号放在一起加以比较,就很容易发现其中的奥秘。2、化繁为简,形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂,实际上,关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析,去粗取精,取伪存真,把其中主要的、关键的内容抽出来,题目的难度就会大幅度降低,问题也就容易解决了.如:将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个
7、图形有24个小圆,依次规律,第6个图形有 个小圆通过比较,可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到事物的变化规律.3、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律,找到了事物的循环规律,其他问题就可以迎刃而解. 如:把一张纸片剪成4块,再从所得的纸片中任取若干块,每块又剪成4块,像这样依次地进行下去,到剪完某一次为止。那么2007,2008,2009,2010这四个数中_可能是剪出的纸片数有些题目,虽然形式发生了变化,但是本质并没有改变.我们只要在观察形式变化的过程中,始终注意寻找它的不变量,就可以揭示出事物的本质规律.三、规律探索型问题常见的结论:1、乘方型:如:一张白纸引发的规律:将一张长
8、方形的纸对折,可得到两层。继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,1、连续对折n次后,可以得到几层?2、连续对折n次后,可以得到几条折痕?3、若这张白纸的面积为1,连续对折n次后单层面积是多少?另如:拉面问题:将一团拉面拉一次,再捏合一次,再拉第二次,又捏合一次,如此重复下去,第n次捏合后,有多少根拉面?这类问题的关键在于观察数的特征:将“数”进行比较,一定会发现“数”与“数”间的联系2、等比型:这类题型最简单,通过观察、比较,学生能很容易解决。如:观察下列图形,则第个图形中三角形的个数是_3、等差型:这些题型在数学中应用最广,题型最多。例如:火柴棍引发若干的规律1、用火柴棍拼三角形三角
9、形个数12345n火柴棍根数3变式1:用火柴棍拼正方形正方形个数123。n火柴棒条数(1)搭一搭,填一填:(2)根据你的算法,搭100个这样的正方形需要根火柴棒。变式2:用同样规律的蓝白两色正方形瓷砖铺设地面,如图所示第n个图形中需用蓝色瓷砖 块当数学问题所反映的数列的差值均为整数K时,其通式就与整数K的倍数有关,结果一定是(Kn常数)的形式(n为自然数),将K代入特例中验证即可轻易得到通式,这种方法简便易行,熟练后可口头作出答解。4、差值呈自然数增长型这类通式往往与前n个自然数的和、前n个奇数和或前n个偶数和有关。这类习题有许多实例:一条直线上有2个点,则有1条线段;如有3个点,则有2+1条
10、线段;有4个点,则有3+2+1条线段;依次类推:有n个已知点,则有线段(n-1)+(n-2)+3+2+1条线段,即有(n-1+1)(n-1)2=n(n-1)2条线段。 另外还有“几个人相互握手总次数和”、“打篮球进行单循环比赛取总场次”等问题。所反映的是同一个数学问题,只是将其置身于各类不同的生活背景中,但归根到底是求前(n-1)个自然数的和。又如,1、用大小相同的正方形拼图,拼第1个图形需要3个正方形,拼第2个图形需要6个正方形,依次类推,拼第4个图形需要_个正方形,拼第n个图形需要_个正方形。2、下边是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第n行第n列的数:_第一列
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