高中数学导数知识点归纳总结和例题.doc

导 数
考试内容
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
§14. 导 数 知识要点
导 数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.
注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.
②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系：
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.
事实上，令，则相当于.
于是
⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.
例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

注：①必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.
5. 复合函数的求导法则：或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数在区间内恒有=0，则为常数.
注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）
当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数，使=0，但不是极值点.
②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
I.（为常数）
（）
II.

III. 求导的常见方法：
①常用结论：.②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.
导数中的切线问题
例题1：已知切点，求曲线的切线方程
曲线在点处的切线方程为（　　）

例题2：已知斜率，求曲线的切线方程
与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）

注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．
例题3：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
求过曲线上的点的切线方程．

例题4：已知过曲线外一点，求切线方程
求过点且与曲线相切的直线方程．

练习题：　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
看看几个高考题

1.（2009全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为
2.（2010江西卷）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
3.（2009宁夏海南卷）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
4.（2009浙江）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
5.（2009北京）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；

.1 函数的单调性和导数

1．利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数在某个区间可导，
如果在这个区间内，则为这个区间内的 ；
如果在这个区间内，则为这个区间内的 。
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f ¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f ¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．

【例题讲解】
a) 求证：在上是增函数。

b) 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3

２．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
３．函数的单调递增区间是_____________．

函数图象及其导函数图象
1. 函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为_____________

2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数的单调增区间是_____________

3. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为_____ _

4. 若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是（ ）

5. 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
O
1
2
x
y
O
1
2
x
y
x
y
y
O
1
2
y
O
1
2
x
O
1
2
x
A
B
C
D
6. (2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可能的是（　　　）

7. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为(　)

8. （安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数的图像如下右图所示，则的图像可能是 （ ）
x
o
y
9. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数的导函数的图象如右图，则的图象可能是( )

10. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ ）

(A) (B) (C) (D)
11. (2008广州二模文、理)已知二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图象大致形状是（ ）

12. （2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．
13. （福建卷11）如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是 ( )

14. （2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ）

15. (2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A． B． C． D．

x
y

x4
O oO

16. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则（ ）
函数有1个极大值点，1个极小值点
函数有2个极大值点，2个极小值点
函数有3个极大值点，1个极小值点
函数有1个极大值点，3个极小值点

17. (2008珠海质检理)函数的定义域为，其导函数内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（ ）
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4

18. 【湛江市·文】函数的图象大致是

．　　　　　　　　．　　　　　　　　　　．　　　　　　　．

19. 【珠海·文】如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是 （ ）
A. B.
C. D.

20. 定义在R上的函数满足．为的导函数，已知函数的图象如右图所示.若两正数满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
21. 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.

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