北师大高中数学必修四知识点(非常详细)165.pdf

-1-北北师师大高中数学必修四知大高中数学必修四知识识点点一一一三角函数三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。第一象限角的集合为36036090,kkkooo第二象限角的集合为36090360180,kkkoooo第三象限角的集合为360180360270,kkkoooo第四象限角的集合为360270360360,kkkoooo终边在轴上的角的集合为x180,kk o终边在轴上的角的集合为y18090,kk oo终边在坐标轴上的角的集合为90,kk o3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合Zkk,360|o4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是rllr（2）度数与弧度数的换算：rad，1 rado180185730.57)180(ooo（3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数），半径为，则：r弧长公式：；扇形面积：rl|2|2121rlrS5、三角函数:（1）定义:设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u,v)，那么 v 叫做 的正弦，记作 sin,即 sin=v;u 叫做 的余弦，记作 cos，即 cos=u;当 的终边不在 y 轴上时，叫uvP(u,v)y x o-2-做 的正切，记作 tan,即 tan=.uv设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，,x y220r OPrxy则，sinyrcosxrtan0yxx（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.（3）特殊角的三角函数值的角度030456090120135150180的弧度06432324365sin021222312322210cos123222102122231tan03313不存在31330的角度210225240270300315330360的弧度6745342335476112sin21222312322210cos23222102122231tan3313不存在313306、三角函数的诱导公式：，1 sin 2sinkcos 2cosktan 2tankk口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等，2 sinsin coscostantan P(x,y)y x o sinxy+_Oxy+_cosOtanxy+_O-3-，3 sinsincoscos tantan，4 sinsin coscos tantan，5 sin 2sin cos 2costan 2tan 口诀：函数名称不变，正负看象限，6 sincos2cossin2tancot2，7 sincos2cossin2 tancot2 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域值域：1,1当时，22xkk；当max1y22xk时，kmin1y 值域：1,1当时，2xkk；当max1y2xk时，kmin1y 值域：R既无最大值也无最小值周期性是周期函数；周期为sinyx且；2,TkkZ0k 最小正周期为2是周期函数；周期cosyx为且；2,TkkZ0k 最小正周期为2是周期函数；周tanyx期为且,TkkZ；最小正周期为0k 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk在上2,2kkk在,22kk-4-上是增函数；在k32,222kk上是减函数k是增函数；在2,2kk上是减函数k上是增函数k对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴8、函数的相关知识：)0,0()sin(AbxAy（1）的图象与xysin图像的关系：sinyxb A振幅变换：xysin xAysin周期变换：xysin xysin相位变换：xysin )sin(xy平移变换：)sin(xAysinyxb A先平移后伸先平移后伸缩缩：函数的图象整体向左（）或向右（）平移个单位，得sinyx00到函数 的图象；再将函数的图象上每个点的横坐标变为原来sinyxsinyx的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；再将函数的图象1sinyxsinyx上每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象；再将Asinyx A函数的图象整体向上（）或向下（）平移个单位，得到函数sinyx0b0bbsinyxb A先伸先伸缩缩后平移：后平移：函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函sinyx1图象整体向左（）或向右（）平移个单位00图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变1图象整体向上（）或向下（）0b0b平移个单位b-5-数的图象；再将函数的图象整体向左（）或向右（）平移个sinyxsinyx00单位，得到函数的图象；再将函数的图象上每个点的纵坐标sinyxsinyx变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象；再将函数Asinyx A的图象整体向上（）或向下（）平移个单位，得到函数sinyx0b0bbsinyxb A（2）函数的性质：)0,0()sin(AbxAy振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：A2 12fx定义域：R值域：,Ab Ab当时，；22xkkmaxyAb当时，22xkkminyAb 周期性：函数是周期函数；周期为)0,0()sin(AbxAy2T单调性：在上时是增函数；x2,222kkk在上时是减函数x32,222kkk对称性：对称中心为；对称轴为,0kkx2kk一一一平面向量平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的03、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：a|aae-6-4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作；ba/规定与任何向量平行05、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接平行四边形法则的特点：起点相同运算性质：交换律：；结合律：；abbarrrrabcabcrrrrrr00aaarrrrr坐标运算：设，则11,ax yr22,bxyr1212,abxxyyrr7、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则11,ax yr22,bxyr1212,abxxyyrr设、两点的坐标分别为，则A11,x y22,xy2121,xx yyA uuu r8、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作arar；aarr当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；0arar0arar当时，00arr运算律：；aa rraaarrrababrrrr坐标运算：设，则,ax yr,ax yxyr9、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使0a a rr rbrbarr设，其中，则当且仅当时，向量、11,ax yr22,bxyr0b rr12210 x yx yar br ar C A abCC AA uuu ruuu ruuu rrr-7-共线0b b r rr10、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的1eu r2eu u r任意向量，有且只有一对实数、，使（不共不共线线的向量、作为这一平ar121 122aeeu ru u rr1eu r2eu u r面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当12 1211,x y22,xy时，点的坐标是12 uuu ruuu r1212,11xxyy12、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为cos0,0,0180a ba baboorrrrrrrr0性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；arbr0aba brrrrarbra ba brrrr当与反向时，；或arbra ba b rrrr22a aaar rrraa arr ra ba brrrr运算律：；a bb arrrr aba babrrrrrrabca cb c rrrrr rr坐标运算：设两个非零向量，则11,ax yr22,bxyr1212a bx xy yrr若，则，或,ax yr222axyr22axyr设，则11,ax yr22,bxyr12120abx xy yrr设、都是非零向量，是与的夹角，则arbr11,ax yr22,bxyrarbr121222221122cosx xy ya ba bxyxyrrrr一一一三角恒等三角恒等变变形形1、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：（）商数关系：1cossin22cossintan （）倒数关系：1cottan ；222tan1tansin22tan11cos注意：注意：按照以上公式可以“知一求二”tan,cos,sin-8-2、两角和与差的正弦、余弦、正切：)(Ssincoscossin)sin(：)(Ssincoscossin)sin(：)(Csinsincoscos)cos(a：)(Csinsincoscos)cos(a：)(Ttantan1tantan)tan(：)(Ttantan1tantan)tan(正切和公式：)tantan1()tan(tantan3、辅辅助角公式助角公式：xbabxbaabaxbxacossincossin222222)sin()sincoscos(sin2222xbaxxba（其中称为辅助角，的终边过点，）),(baabtan4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：2Scossin22sin：2C22sincos2cos1cos2sin2122：2T2tan1tan22tan二倍角公式的常用二倍角公式的常用变变形：形：、，；|sin|22cos1|cos|22cos1、，|sin|2cos2121|cos|2cos2121、；22sin1cossin21cossin22244；2cossincos44降次公式：降次公式：2sin21cossin212cos2122cos1sin2212cos2122cos1cos2-9-5、半角的正弦、余弦和正切公式：；，2cos12sin2cos12coscos1cos12tancos1sinsincos16、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）；22cos1sin2cos1sin；22sin1cos2sin1cos，2sin2cossinsincoscottan22 2cot22sin2cos2cossinsincostancot22；2sin1cossin21)cos(sin2|cossin|2sin17、补充公式：万能公式；2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan2积化和差公式 )sin()sin(21cossin )sin()sin(21sincos )cos()cos(21coscos )cos()cos(21sinsin和差化积公式 2cos2sin2sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos