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等比数列知识点并附例题及解析
1、等比数列的定义：，称为公比
2、通项公式：
，首项：；公比：
推广：
3、等比中项：
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式：
（1）当时，
（2）当时，
（为常数）
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的，都有为等比数列
（2）等比中项：为等比数列
（3）通项公式：为等比数列
6、等比数列的证明方法：
依据定义：若或为等比数列
7、等比数列的性质：
（2）对任何，在等比数列中，有。
（3）若，则。特别的，当时，得 注：
（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。
（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列
（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列
（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列
（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列
（9）①当时，
②当时，
③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
④当时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列中，当项数为时，
二 例题解析
【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（ ）
A． 是等比数列 B．当p≠0时是等比数列
B． C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
【例4】 求数列的通项公式：
(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2
(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

三、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1、数列满足，，则_________．
2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．
考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．
考点三：等比数列及其前n项和的基本运算
1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）
A． B． C． D．
2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．
3、若为等比数列，且，则公比________．
4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、等比数列{an}中，公比q=且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.
考点四：等比数列及其前n项和性质的应用
1、在等比数列中，如果，，那么为（ ）
A． B． C． D．
2、如果，，，，成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3、在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4、在等比数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6、若是等比数列，且，若，那么的值等于
考点五：公式的应用
1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是( )
A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列
C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
2、 等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )

A. (2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)
3、 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.
一、等差和等比数列比较：

等差数列
等比数列
定义

递推公式
；
；
通项公式

（）
中项
（）
（）
前项和

重要
性质

二、等差数列的定义与性质
定义：（为常数）， 通项：
等差中项：成等差数列
前项和：
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若是等差数列，且前项和分别为，则
（4）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值）
（5）项数为偶数的等差数列，有

，.
(6)项数为奇数的等差数列，有
， ，.
三、等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），通项：.
等比中项：成等比数列，或.
前项和： （要注意q ！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
四、数列求和的常用方法：
1 、裂项分组法：
、
2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
例：求：
解：
①
②
① 减 ② 得：

从而求出。
错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式；(3)用①②，错位相减；(4)化简计算。
3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
例：等差数列求和：

两式相加可得：

即 ：

所以

等比数列·例题解析

【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．
[ ]
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】 已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．

【例6】 求数列的通项公式：
(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2
(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

【例8】 若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

【例9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：
(1)求a1与d的值；
(2)b16是不是{an}中的项？

【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

【例14】 已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．

【例15】 已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．
(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．
(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．
等比数列·例题解析

【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．
[ ]
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列
分析 由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，
an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1

但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．
说明 数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注

【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．
解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q
∴2＝1·q2n+1
x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

∴a4＝2

【例4】 已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

证明 设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1

【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．
证法一 ∵a、b、c、d成等比数列

∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2
=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)
＝a2－2ad＋d2
＝(a－d)2＝右边
证毕．
证法二 ∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：
b＝aq，c＝aq2，d=aq3
∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2
＝a2－2a2q3＋a2q6
=(a－aq3)2
＝(a－d)2=右边
证毕．
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．
【例6】 求数列的通项公式：
(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2
(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0
思路：转化为等比数列．

∴{an＋1}是等比数列
∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1

∴{an+1－an}是等比数列，即
an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到

说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．

证 ∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数

∴上述方程的判别式Δ≥0，即

又∵a1、a2、a3为实数

因而a1、a2、a3成等比数列

∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．
【例8】 若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．
解 设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有

整理，得

∴b＋d=2b－2d 即b=3d
代入①，得
9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)
9d2=(2d＋1)·4d
解之，得d=4或d=0(舍)
∴b=12
【例9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：
(1)求a1与d的值；
(2)b16是不是{an}中的项？
思路：运用通项公式列方程

(2)∵b16=b1·d15=－32b1

∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则
－32a1=a1＋(k－1)d
∴(k－1)d=－33a1=33d
∴k=34即b16是{an}中的第34项．

解 设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d

解这个方程组，得

∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2
∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋(n－1)d=2n－3
当a1=3，d=2时，an=a1＋(n－1)d=5－2n
【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．
解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2
由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列
即：2(aq＋4)=a＋aq2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
a，aq＋4，aq2＋32成等比数列
即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)

解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d
由已知：三个数成等比数列
即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)

b－d，b，b＋d＋32成等比数列
即b2=(b－d)(b＋d＋32)

解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3
由已知：a1，a2，a3成等比数列

a1，a2＋4，a3成等差数列
得：2(a2＋4)=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
a1，a2＋4，a3＋32成等比数列
得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) 　　　　　　　　　　　　　　　　③

说明 将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成

简化计算过程的作用．
【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
分析 本题有三种设未知数的方法
方法一 设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条

方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．
方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．
由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，

所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2b－bq

所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法三 设四个数依次为x，y，12－y，16－x．

这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．
解 设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126
∴b=42
这三个数可写成42－d，42，42＋d．
再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得

解这个方程组，得
a1=17或a2=68
当a=17时，q=2，d=－26

从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．
【例14】 已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．
证明 由已知，有
2a2=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

即 a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)

所以a1、a3、a5成等比数列．
【例15】 已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．
(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．
(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．
证明 (1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0
∴b－c=a－b=－d，c－a=2d
代入已知条件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0
∴logmx＋logmz=2logmy
∴y2=xz
∵x，y，z均为正数
∴x，y，z成等比数列
(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1
∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：
(b－c)logmx＋(c－a)logmxq＋(a－b)logmxq2=0
变形、整理得：(c＋a－2b)logmq=0
∵q≠1 ∴logmq≠0
∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c
即a，b，c成等差数列