函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练(含答案).doc

函数的周期性练习题

一．选择题（共15小题）

1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣

2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（　　）A．10 B． C．﹣10 D．﹣

3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（　　）A．10 B．﹣10 C． D．﹣
4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2　
5．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（　　）A．﹣2 B． C．2 D．5

6．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0　
7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（　　）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.5
8．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2

9．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（　　）A．5 B．﹣5 C．0 D．3　
10．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则
f（f（5））=（　　） A．﹣5 B． C． D．5

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9　
13．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（　　）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当 x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程 f（x）=在[﹣3，4]解的个数（　　）A．4B．8C．9 D．10
15．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6　

二．填空题（共10小题）
16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有
f（x+3）=，则f（2014）=　　　　　　．
17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为　　　　　　．　
18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为　　　　　　．　
19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=　　　　　　．
20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=　　　　　　．

21． 定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=　　　　　　．

22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（8）﹣f（14）=　　　　　　．
23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是　　　　　　．
24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=　　　　　　．　
25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=　　　　　　．

一．选择题（共15小题）
1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x﹣2）=f（x+2）
∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log232＞log220＞log216
∴4＜log220＜5
∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）
又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，
∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C
2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．
f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=． 故选B
3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，
∴f（x+3）=﹣，
则f（x+6）=f（x），
即函数f（x）的周期为6，
∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，
又∵偶函数f（x），
当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，
∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．
4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，
因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，
∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，
f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，
∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；
5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，
∴f（2015）=f（﹣1），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．
6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，
∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，
∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，
故选：A
7．【解答】解：∵，∴==f（x）
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4
∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）
∵f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）
∵当2≤x≤3，f（x）=x
∴f（2.5）=2.5
∴f（5.5）=2.5 故选D
8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的奇函数，
又∵，
∵，∴，
∴f（log354）=﹣2，故选：A．

9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0
则：f（﹣x）=﹣f（x）
所以函数是奇函数
由于函数周期是4，
所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B
10．【解答】解：∵f（x+2）=
∴f（x+2+2）==f（x）
∴f（x）是以4为周期的函数
∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5
f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）
又∵f（﹣1）===﹣
∴f（f（5））=﹣ 故选B
11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），
∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，
则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1， 故选：C．
12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，
即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．
13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，
∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．
∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．
14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，
当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，
在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：

由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程 f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．
15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，
∴f（x+2）=f（x），
∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|
∴作图如下：

∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C
二．填空题（共10小题）
16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，
∴f（x+6）==f（x），
∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，
∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）
=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣5
17【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，
x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，
当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，
如图：
又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，
可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；
故答案为8；

18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），
∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），
∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），
即f（x+3）=﹣f（x），
∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，
故答案为：﹣3．
19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；
由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．
而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），
今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．
于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；
∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．
而2010=3×670，于是f （2010）=0；
故答案为0．
20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有 ，
则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），
∴函数f（x）是周期函数且T=4，
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），
∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．
21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，
∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，
∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
又∵f（x+6）=f（x）．
故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，
又∵2012=335×6+2，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338
22．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，
f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，
故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．
23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，
则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），
又f（2）＞1，
∴f（2014）＜﹣1，
即＜﹣1，即为＜0，
即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．
24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣ ）=﹣f（）=﹣2× （1﹣ ）=﹣，故答案为：﹣．
25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin
=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，
同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，
∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：
三．解答题（共5小题）
26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数；
（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，
由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，
又f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，
∴f（x）=x2+2x，
又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，
∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，
从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；
（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．
27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数
则，x∈[﹣1，0]．
（2），
∵1﹣log32∈[0，1]，
∴，
即．
28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，
∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．
又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，
∴．
（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∴，
∴，
∴．
29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，
∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，
∴f（﹣2014）=﹣2．
30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，
所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）
当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）
所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）
（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）
先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．
设0＜x1＜x2＜1，
则
因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，
从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）

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