概率论与数理统计公式集锦20124.docx

分布名称
分布律
0–1分布

二项分布

泊松分布

一、随机事件与概率
公式名称
公式表达式
德摩根公式
，
古典概型

几何概型
，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）
求逆公式

加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)，时P(A-B)=P(A)-P(B)
条件概率公式
与乘法公式

全概率公式

贝叶斯公式
（逆概率公式）

两个事件
相互独立
；；；
二、随机变量及其分布
1、分布函数

2、离散型随机变量及其分布
3、续型随机变量及其分布
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布

分布名称
密度函数
分布函数
指数分布

正态分布

标准正态分布

4、随机变量函数Y=g(X)的分布
离散型：，
连续型：①分布函数法，②公式法
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律：分布函数
边缘分布律：
条件分布律：，
2、连续型二维随机变量及其分布
①分布函数及性质
分布函数：
性质：
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数： 密度函数：

③条件概率密度
，
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立，
离散型： ，连续型：
4、二维随机变量和函数的分布
离散型：
连续型：
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型，连续型
②性质：，，
，当X、Y相互独立时：
2、方差
①定义：
②性质：，，
当X、Y相互独立时：
3、协方差与相关系数
①协方差：，当X、Y相互独立时：
②相关系数：，当X、Y相互独立时：(X,Y不相关)
③协方差和相关系数的性质：，
，
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布
p
p(1-p)
二项分布
np
np(1-p)
泊松分布

均匀分布

正态分布

指数分布

五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若对于任意有
2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若相互独立，
且，则：
②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则，有：
③辛钦大数定律：若独立同分布，且，则
3、中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量，均值为，方差为，当n充分大时有：
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量，则对任意x有：

③近似计算：
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本的分布函数
设总体，则样本的联合分布函数
2、统计量
样本均值：，样本方差：
样本标准差：，样本阶原点距：
样本阶中心距：
3、三大抽样分布
(1)分布：设随机变量且相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记为
性质：①②设且相互独立，则
(2)分布：设随机变量，且X与Y独立，则称统计量：服从自由度为的分布，记为
性质：①②
(3)分布：设随机变量，且与独立，则称统计量服从第一自由度为m，第二自由度为n的分布，记为，性质：设，则
七、参数估计
1.参数估计
①定义：用估计总体参数，称为的估计量，相应的为总体的估计值。
②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法：
基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩
求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数，它的前k阶原点
矩中包含了未知参数，
即；又设为总体X的n个样本值，用样本矩代替，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量。
注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。
3.点估计中的极大似然估计
设取自的样本，设或，求法步骤：
①似然函数：
②取对数： 或
③解方程：，解得：
4.估计量的评价标准
估计量的评价标准
无偏性
设为未知参数的估计量。若E(）=，则称为的无偏估计量。
有效性
基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
小概率事件的概率就是显著性水平α，常取α，或。
基本步骤
①提出原假设H0；②选择检验统计量；③对于α查表找分位数λ，使，从而定出拒绝域W；
④由样本观测值计算统计量实测值；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。

两类错误
第一类错误
当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P{拒绝H0|H0为真}=；
第二类错误
当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P{接受H0|H1为真}=。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。
设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。
一致性
设是的一串估计量，如，有则称为的一致估计量（或相合估计量）。
5.单正态总体参数的置信区间
条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为的置信区间
已知

未知

已知

未知

八、假设检验
1.假设检验的基本概念
2.单正态总体均值和方差的假设检验
条件
原假设
检验统计量
统计量
分布
拒绝域
已知

未知

未知

或

已知
（少见）

或