数学竞赛专题讲座七年级数轴—数与形的一次碰撞含答案.docx
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1、为了学好有理数的概念,使思维适应数集的扩充,我们把现实生活中大量的有关模型,如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度,所具有的本质属性抽象化,建立起数轴模型数轴的建立,赋予了抽象的代数概念以直观表象数学一开始就是研究“数”和“形”的,从古希腊时期起,人们就已试图把它们统一起来数与形有着密切的联系,我们常用代数的方法研究图形问题;另一方面,也利用图形来处理代数问题,这种数与形相互作用,是一种重要的数学思想数形结合思想利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段,数轴是联系数与形的桥梁,主要体现在: 1运用数轴直观地表示有理数; 2运用数轴形象地解释相反数; 3运用数轴准确地比较有理数的大小
2、;4运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题例题讲解【例1】(1)数轴上有、两点,如果点对应的数是,且、两点的距离为3,那么点对应的数是 (江苏省竞赛题)(2)在数轴上,点、分别表示和,则线段的中点所表示的数是(江苏省竞赛题)(3)点A、B分别是数,在数轴上对应的点,使线段沿数轴向右移动到,且线段的中点对应的数是3,则点对应的数是_,点移动的距离是_ (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)确定点的位置;(2)在数轴上选择两个特殊点,探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系;(3)在平移的过程中,线段的长度不变,即【例2】 如图,在数轴上有六个点,且,则与点所表示的数最接近的整数是_思
3、路点拨 利用数轴提供的信息,求出的长度【例3】比较与的大小思路点拨因为表示的数有任意性,直接比较常会发生遗漏的现象,若把各个范围在数轴上表示出来,借助数轴讨论它们的大小,则形象直观,解题的关键是由无意义得出,据此3个数把数轴分为6个部分【例4】阅读下面材料并回答问题(1)阅读下面材料:点、在数轴上分别表示实数a、b,、两点之间的距离表示为当、两点中有一点在原点时,不妨设点在原点,如图1,当、两点都不在原点时,如图2,点、都在原点的右边;如图3,点、都在原点的左边,;如图4,点、在原点的两边,;综上,数轴上、两点之间的距离(2)回答下列问题:数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示2和5的
4、两点之间的距离是,数轴上表示1和3的两点之间的距离是;数轴上表示和1的两点和之间的距离是 ,如果那么为_;当代数式取最小值时,相应的的取值范围是(南京市中考题)思路点拨阅读理解从数轴上看,的意义 链接:有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧,主要包括:数轴上诸点所表示的数的正负性;数轴上的点到原点的距离 (1)字母表示数是代数的特点,但字母具有抽象性,所以在条件允许的范围内赋予字母以特殊值来计算、判断或探求解题思路,能化抽象为具体,这就是我们常说的“赋值法”,但这种方法不能作为解题的规范过程(2)纯粹的代数方法比较抽象,如能借助图形(利用数形
5、结合的思想方法),则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化,甚至简单化【例5】试求x-1十x2+x3+x1997的最小值 (天津市竞赛题)思路点拨由于x的任意性、无限性,因此,通过逐个求出代数式的值解题明显困难,不妨从绝对值的几何意义,利用数轴入手,借助【例4】的结论解题【例6】 (1)工作流水线上顺次排列5个工作台、,一只工具箱应该放在何处,才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短? (2)如果工作台由5个改为6个,那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短? (3)当流水线上有个工作台时,怎样放置工具箱最适宜?思路点拨把流水线看作数轴,工作台、工具箱看
6、作数轴上的点,这样,就找到了解决本例的模型数轴,将问题转化为【例4】的形式求解链接:设、是数轴上依次排列的点表示的有理数当为偶数时,若,则的值最小;当为奇数时,若,则的值最小基础训练一、基础夯实:1.在数轴上表示数a的点到原点的距离为,则a-3=_.2.a、b、c在数轴上的位置如图所示,则、中最大的是_. (第2题) (第3题) (第4题)3. (第12届“希望杯”邀请赛试题)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,若m=a+b-b-1-a-c-1-c,则1000m=_. 4.如图,工作流程线上A、B、C、D处各有1名工人,且AB=BC=CD=1,现在工作流程线上安放一个工具箱,使4个人到工具
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