胡寿松自动控制原理课后习题答案.doc

1 请解释下列名字术语:自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解:自动控制系统:能够实现自动控制任务得系统,由控制装置与被控对象组成;
受控对象:要求实现自动控制得机器、设备或生产过程
扰动:扰动就是一种对系统得输出产生不利影响得信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰;扰动产生在系统外部,则称为外扰。外扰就是系统得输入量。
给定值:受控对象得物理量在控制系统中应保持得期望值
参考输入即为给定值。
反馈:将系统得输出量馈送到参考输入端,并与参考输入进行比较得过程。
2 请说明自动控制系统得基本组成部分。
解: 作为一个完整得控制系统,应该由如下几个部分组成:
① 被控对象: 所谓被控对象就就是整个控制系统得控制对象;
② 执行部件: 根据所接收到得相关信号,使得被控对象产生相应得动作;常用得执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③ 给定元件: 给定元件得职能就就是给出与期望得被控量相对应得系统输入量(即参考量);
④ 比较元件: 把测量元件检测到得被控量得实际值与给定元件给出得参考值进行比较,求出它们之间得偏差。常用得比较元件有差动放大器、机械差动装置与电桥等。
⑤ 测量反馈元件:该元部件得职能就就是测量被控制得物理量,如果这个物理量就是非电量,一般需要将其转换成为电量。常用得测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等;
⑥ 放大元件: 将比较元件给出得偏差进行放大,用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号,可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成得电压放大器与功率放大级加以放大。
⑦ 校正元件: 亦称补偿元件,它就是结构或参数便于调整得元件,用串联或反馈得方式连接在系统中,用以改善系统得性能。常用得校正元件有电阻、电容组成得无源或有源网络,它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3 请说出什么就是反馈控制系统,开环控制系统与闭环控制系统各有什么优缺点？
解:反馈控制系统即闭环控制系统,在一个控制系统,将系统得输出量通过某测量机构对其进行实时测量,并将该测量值与输入量进行比较,形成一个反馈通道,从而形成一个封闭得控制系统;
开环系统优点:结构简单,缺点:控制得精度较差;
闭环控制系统优点:控制精度高,缺点:结构复杂、设计分析麻烦,制造成本高。
4 请说明自动控制系统得基本性能要求。
解:(1)稳定性:对恒值系统而言,要求当系统受到扰动后,经过一定时间得调整能够回到原来得期望值。而对随动系统而言,被控制量始终跟踪参考量得变化。稳定性通常由系统得结构决定得,与外界因素无关,系统得稳定性就是对系统得基本要求,不稳定得系统不能实现预定任务。
(2)准确性:控制系统得准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下,系统得输出达到稳态后得输出与参考输入所要求得期望输出之差叫做给定稳态误差。显然,这种误差越小,表示系统得输出跟随参考输入得精度越高。
(3)快速性:对过渡过程得形式与快慢得要求,一般称为控制系统得动态性能。系统得快速性主要反映系统对输入信号得变化而作出相应得快慢程度,如稳定高射炮射角随动系统,虽然炮身最终能跟踪目标,但如果目标变动迅速,而炮身行动迟缓,仍然抓不住目标。

图2-1 习题2-1 质量－弹簧－摩擦系统示意图
2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示,途中为黏性摩擦系数,为弹簧系数,系统得输入量为力,系统得输出量为质量得位移。试列出系统得输入输出微分方程。
解:显然,系统得摩擦力为,弹簧力为,根据牛顿第二运动定律有

移项整理,得系统得微分方程为

图2-2 习题2-2 机械系统示意图

2-2 试列写图2-2所示机械系统得运动微分方程。
解:由牛顿第二运动定律,不计重力时,得

整理得

2-3 求下列函数得拉氏变换。
(1)
(2)
(3)
解:(1)

(2)

(3)

2-4 求下列函数得拉氏反变换
(1)
(2)
(3)
解:(1)

(2)

(3)

2-5 试分别列写图2-3中各无源网络得微分方程(设电容上得电压为,电容上得电压为,以此类推)。

图2-3 习题2-5 无源网络示意图
解:(a)设电容上电压为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系得微分方程为

(b)设电容、上电压为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系得微分方程为

(c)设电阻上电压为,两电容上电压为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)代入(4)并整理得
(5)
(1)、(2)代入(3)并整理得

两端取微分,并将(5)代入,整理得输入输出关系得微分方程为

2-6 求图2-4中各无源网络得传递函数。
图2-4 习题2-6示意图
解:(a)由图得
(1)
(2)
(2)代入(1),整理得传递函数为

(b)由图得
(1)
(2)

整理得传递函数为

(c)由图得
(1)
(2)
(3)
(4)
整理得传递函数为

图2-5 习题2-7 无源网络示意图
2-7 求图2-5中无源网络得传递函数。
解:由图得

整理得

2-8 试简化图2-6中所示系统结构图,并求传递函数与。
解:(a)
⑴求传递函数,按下列步骤简化结构图:

图2-6 习题2-8 系统结构图示意图
① 令,利用反馈运算简化如图2-8a所示

图2-8a

②串联等效如图2-8b所示

图2-8b

③根据反馈运算可得传递函数

⑵求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①令,重画系统结构图如图2-8c所示

图2-8c

② 将输出端得端子前移,并将反馈运算合并如图2-8d所示

图2-9d

③与串联合并,并将单位比较点前移如图2-8e所示

图2-8e

④串并联合并如图2-8f所示

图2-8f

⑤根据反馈与串联运算,得传递函数

(b)求传递函数,按下列步骤简化结构图:
①将得引出端前移如图2-8g所示

图2-8g

②合并反馈、串联如图2-8h所示

图2-8h

③ 将得引出端前移如图2-8i所示

图2-8i

④ 合并反馈及串联如图2-8j所示

图2-8j

⑤根据反馈运算得传递函数

图2-7 习题2-9 系统结构图示意图

习题2-4 无源网络示意图
2-9 试简化图2-7中所示系统结构图,并求传递函数。
解:求传递函数,按下列步骤简化结构图:
① 将得引出端前移如图2-9a所示

图2-9a

② 合并反馈及串联如图2-9b所示

图2-9b

③ 合并反馈、串联如图2-9c所示

图2-9c

④根据反馈运算,得传递函数

2-10 根据图2-6给出得系统结构图,画出该系统得信号流图,并用梅森公式求系统传递函数与。
解:(a)根据结构图与信号流图得对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递得信号,用标有传递函数得之路代替结构图中得方框,可以绘出系统对应得信号流图。如图2-10a所示。

图2-10a

(1)令,求系统传递函数
由信号流图2-10a可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为

有三个相互接触得单独回路,其回路增益分别为
,,
与互不接触

流图特征式

由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式

根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为

(2)令,求系统传递函数
?由信号流图2-10a可见,从源节点到阱节点之间,有两条前向通路,其增益为
,
有两个相互接触得单独回路,其回路增益分别为
,
没有互不接触得回路,所以流图特征式为

由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
,
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为

(b)根据结构图与信号流图得对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递得信号,用标有传递函数得之路代替结构图中得方框,可以绘出系统对应得信号流图。如图2-10b所示。

图2-10b

求系统传递函数
由信号流图2-10b可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为

有三个相互接触得单独回路,其回路增益分别为
,,
与互不接触

流图特征式为

由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式

根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为

2-11 根据图2-7给出得系统结构图,画出该系统得信号流图,并用梅森公式求系统传递函数。
解:根据结构图与信号流图得对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递得信号,用标有传递函数得之路代替结构图中得方框,可以绘出系统对应得信号流图。如图2-11a所示

图2-11a

由信号流图2-11a可见,从源节点到阱节点之间,有一条前向通路,其增益为

有三个相互接触得单独回路,其回路增益分别为
,,
没有互不接触回路。因此,流图特征式

由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式

根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为

3-2 已知各系统得脉冲响应,试求系统得闭环传递函数:
(1);
(2);
(3)。
解:
(1)
(2)

(3)
3-3 已知二阶系统得单位阶跃响应为,试求系统得超调量,峰值时间与调节时间。
解:

＝
由上式可知,此二阶系统得放大系数就是10,但放大系数并不影响系统得动态性能指标。
由于标准得二阶系统单位阶跃响应表达式为
所以有
解上述方程组,得
所以,此系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标如下
超调量
峰值时间
调节时间
3-4 设单位负反馈系统得开环传递函数为,试求系统在单位阶跃输入下得动态性能。
解题过程:
由题意可得系统得闭环传递函数为

其中。这就是一个比例－微分控制二阶系统。
比例－微分控制二阶系统得单位阶跃响应为

故显然有

此系统得动态性能指标为
峰值时间
超调量
调节时间
3-5 已知控制系统得单位阶跃响应为,试确定系统得阻尼比与自然频率。
解:
系统得单位脉冲响应为
系统得闭环传递函数为
自然频率
阻尼比
3-6 已知系统特征方程为,试用劳斯稳定判据与赫尔维茨稳定判据确定系统得稳定性。
解:
先用劳斯稳定判据来判定系统得稳定性,列出劳斯表如下

显然,由于表中第一列元素得符号有两次改变,所以该系统在右半平面有两个闭环极点。因此,该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统得稳定性。显然,特征方程得各项系数均为正,则

显然,此系统不稳定。
3-7 设单位负反馈系统得开环传递函数为,试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时,特使系统振荡,并求出振荡频率。
解:
由题得,特征方程就是
列劳斯表

由题意,令所在行为零得
由行得
解之得 ,所以振荡角频率为
3-8 已知单位负反馈系统得开环传递函数为,试确定系统稳定时得值范围。
解:
由题可知系统得特征方程为

列劳斯表如下

由劳斯稳定判据可得

解上述方程组可得
3-9系统结构如图3-1所示,,定义误差,
(1) 若希望图a中,系统所有得特征根位于平面上得左侧,且阻尼比为0、5,求满足条件得得取值范围。
(2) 求图a系统得单位斜坡输入下得稳态误差。
(3) 为了使稳态误差为零,让斜坡输入先通过一个比例微分环节,如图b所示,试求出合适得值。

(a) (b)
图3-1 习题3-9 示意图

解:(1)闭环传递函数为
即
,代入上式得,

列出劳斯表,

(2) ,系统为I型系统 ∴
(3)

并没有改变系统得稳定性。
3-10 已知单位反馈系统得开环传递函数:
(1);
(2)
试求输入分别为与时,系统得稳态误差。
解:
(1)
由上式可知,该系统就是型系统,且。
型系统在信号作用下得稳态误差分别为:。根据线性叠加原理有该系统在输入为时得稳态误差为,该系统在输入为时得稳态误差为
(2)
由上式可知,该系统就是型系统,且。
型系统在信号作用下得稳态误差分别为:。根据线性叠加原理有该系统在输入为时得稳态误差为,该系统在输入为时得稳态误差为
3-11已知闭环传递函数得一般形式为

误差定义为。试证,
（1） 系统在阶跃信号输入下,稳态误差为零得充分条件为

(2)系统在斜坡信号输入下,稳态误差为零得充分条件为

(3)推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零得充分条件
(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间得关系
解:(1)

满足终值定理得条件,

即证
(2)

满足终值定理得条件,

即证
(3) 对于加速度输入,稳态误差为零得必要条件为

同理可证
(4)系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。
3-12 已知单位反馈系统得开环传递函数为:
(1);
(2);
(3)
试求位置误差系数,速度误差系数,加速度误差系数。
解:
（1） 此系统就是一个型系统,且。故查表可得,,
（2） 根据误差系数得定义式可得

（3） 根据误差系数得定义式可得

3-13设单位反馈系统得开环传递函数

输入信号为
其中, , , i, , 均为正数,a与b为已知正常数。如果要求闭环系统得稳态误差<, 其中, 试求系统各参数满足得条件。
解:首先系统必须就是稳定得,系统得闭环特征方程为

式中,,为系统得开环增益,各参数满足:
,
即稳定条件为
由于本例就是I型系统,其, ,故在作用下,其稳态误差
必有
于就是,即能保证系统稳定,又满足对系统稳态误差要求得各参数之间得条件为
3-14 设单位反馈系统得开环传递函数为。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为时,系统得稳态误差。
解:
系统得误差传递函数为

所以有
对上式进行拉氏反变换可得
(1)
当时,显然有

将上述三式代入(1)式,可得
系统得稳态误差为
3-15 假设可用传送函数描述温度计得特性,现在用温度计测量盛在容器内得水温,需要一分钟时间才能指出实际水温得得数值。如果给容器加热,使水温依得速度线性变化,问温度计得稳态误差有多大?
解:
由题意,该一阶系统得调整时间,但,所以。
系统输入为,可推得
因此可得

得稳态分量为
稳态误差为
所以,稳态误差为
3-16如图3-2所示得控制系统结构图,误差在输入端定义,扰动输入、
(1) 试求时,系统在扰动输入下得稳态输出与稳态误差。
(2) 若, 其结果又如何？
(3) 在扰动作用点之前得前向通道中引入积分环节,对其结果有何影响？
在扰动作用点之后得前向通道中引入积分环节,对其结果又有何影响？

图3-2 习题 3-16 示意图
解:令 ,,
则 代入
得
令,得扰动作用下得输出表达式:

此时得误差表达式为:
若在s 右半平面上解析,则有

在扰动输入下得稳态输出为

代入得表达式,可得

(1) 当时,
(2) 当时,
可见,开环增益得减小将导致扰动作用下系统稳态输出得增大,且稳态误差得绝对值也增大。
(3) 若加在扰动之前,则

得
若加在扰动之后,则

可见在扰动作用点之前得前向通路中加入积分环节,可以消除阶跃输入引起得稳态误差。
3-17 设随动系统得微分方程为:

其中,为系统输出量,为系统输入量,为电动机机电时间常数,为电动机电磁时间常数,为系统开环增益。初始条件全部为零,试讨论:
（1） 、与之间关系对系统稳定性得影响
(2) 当, , 时,可否忽略得影响？在什么影响下得影响可以忽略？
解:(1)对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换,得闭环系统特征方程

当 均为正值时,且有
即 时 闭环系统稳定。
(2)由于,因此只有当
闭环系统才稳定,显然,对于, 闭环不稳定。此时若略去,
闭环特征方程为

上式中各项系数为正,从而得到得出闭环系统稳定得错误结论。如果
。如果,则略去不会影响闭环稳定性。
对于本例,当时,不能忽略对稳定性得影响,否则可以忽略。
3-18 设计题
飞机得自动控制,就是一个需要多变量反馈方式得例子。在该系统中,飞机得飞行姿态由三组翼面决定,分别就是:升降舵,方向舵与副翼,如附图3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面,可以使飞机按照既定得路线飞行。
这里所要讨论得自动驾驶仪就是一个自动控制系统,它通过调节副翼表面来控制倾角,只要使副翼表面产生一个得变形,气压在这些表面上会产生一个扭矩,使飞机产生侧滚。
图3-3(a) 飞机副翼模型图
飞机副翼就是由液压操纵杆来控制得,后者得传递函数为。
测量实际得倾角,并与输入设定值进行比较,其差值被用来驱动液压操纵杆,而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。
为简单化起见,这里假定飞机得侧滚运动与其她运动无关,其结构图如图3-3(b)所示,又假定,且角速率由速率陀螺将其值进行反馈,期望得阶跃响应得超调量,调节时间(以得标准),试选择合适得与值。
图3-3(b) 飞机控制倾角结构图

解:
由于过阻尼响应缓慢,故通常不希望采用过阻尼系统,在本题中欠阻尼

因此,

计算可得

又因,,
由题计算可得,
故

图4-1 习题4-1系统零极点分布图
4-1 已知系统开环零极点分布如图4-1所示,试绘制相应得根轨迹图。
解:

图4-1a根轨迹图

(a)根轨迹得渐近线条数为
(b)根轨迹得渐近线条数为
(c)根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾斜角为,,
(d)根轨迹得渐近线条数为
(e)根轨迹得渐近线条数为
(f)根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾斜角为
4-2 已知单位反馈控制系统得前向通道传递函数为:
(1) (2)
(3) (4)
,画出各系统得根轨迹图。
解:(1)按下列步骤绘制根轨迹:
① 系统开环有限零点为;开环有限极点为
②实轴上得根轨迹区间为
③根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾角为
,,
渐近线与实轴得交点为

闭环系统根轨迹如下图4-2a所示

图4-2a 闭环系统根轨迹图

(2)按下列步骤绘制根轨迹:
①系统没有开环有限零点;开环有限极点为
②实轴上得根轨迹区间为
③根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾角为
,,,
渐近线与实轴得交点为

④分离点方程为

解得分离点
闭环系统根轨迹如下图4-2b所示

图4-2b

(3)按下列步骤绘制根轨迹:
①系统没有开环有限零点;开环有限极点为
② 实轴上根轨迹区间为
③ 根轨迹得渐近线条数为,,
④根轨迹得起始角:复数开环有限极点处,
⑤分离点方程为

解得分离点
检查
时,
时,
皆为闭环系统根轨迹得分离点。
⑥确定根轨迹与虚轴得交点:系统闭环特征方程为

列写劳斯表

当时,劳斯表出现全零行,辅助方程为

解得根轨迹与虚轴交点为。
根轨迹如下图4-2c所示:

图4-2c

(4)按下列步骤绘制根轨迹:
①系统开环有限零点为;开环有限极点为,,
②实轴上根轨迹区间为
③根轨迹得渐近线条数为,,
④分离点方程为

解得分离点
根轨迹如下图4-2d所示:

图4-2d

图4-2 习题4-3系统零极点分布图
4-3 给定系统如图4-2所示,,试画出系统得根轨迹,并分析增益对系统阻尼特性得影响。
解:(1)作系统得根轨迹。开环传递函数为

①开环极点为与,开环零点为与。
②所以实轴上得根轨迹区间为与。
③分离点方程

得分离点
检查
时,
时,
可得到根轨迹如下图4-3a所示

图4-3a

(2)分析增益对阻尼特性得影响。
从根轨迹图可以瞧出,对于任意,闭环系统都就是稳定得,但阻尼状况不同。
增益较小时()系统过阻尼;
增益很大时(),系统过阻尼;
增益中等时(),系统欠阻尼。

图4-3 习题4-4系统结构图
4-4 给定控制系统如图4-3所示, ,试用系统得根轨迹图确定,速度反馈增益为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于。
解:(1)求系统得闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统得开环传递函数

因为可变参数不就是分子多项式得相乘因子,所以先求系统得闭环特征方程

改写为

即,上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为

得系统得闭环特征方程。
(2)根据作出根轨迹图。
有两个极点,一个零点,所以负实轴就是根轨迹,而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为

由可以求得,其中在根轨迹上,对应增益为,故就是实轴上得分离点。根轨迹如图4-4a所示。

图4-4a

(3)求反馈增益。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表,则闭环极点为根轨迹与该虚线得交点,由可得。设

列出该点对应得辐角条件

经整理得

两边同取正切,整理得

解得,。所以该闭环极点为。再由

得速度反馈增益为。
4-5 已知单位反馈系统得开环传递函数为:。要求系统得闭环极点有一对共轭复数极点,其阻尼比为。试确定开环增益,并近似分析系统得时域性能。
解:根据绘制常规根轨迹得基本法则,作系统得概略根轨迹如图4-5a所示。

图4-5a

欲确定,需先确定共轭复极点。设复极点为
根据阻尼比得要求,应保证

在图上作得阻尼线,并得到初始试探点得横坐标,由此求得纵坐标。在处检查相角条件

不满足相角条件;修正,则,点处得相角为;再取,则,点处得相角为。因此共轭复极点。由模值条件求得

运用综合除法求得另一闭环极点为。共轭复极点得实部与实极点得实部之比为,因此可视共轭复极点为系统得主导极点,系统得闭环传递函数可近似表示为

并可近似地用典型二阶系统估算系统得时域性能

4-6 已知单位反馈系统得开环传递函数为:

试画出系统得根轨迹图,并分析系统得稳定时K得取值范围。
解:由题得
开环极点:与
开环零点:
分离、会合点:从平面得零点、极点分布可知在区间内可能有分离、会合点。
记

由,可得

经整理后得到

用试探法或程序算得区间内得一个根为,它就就是实轴上得分离点。
根轨迹自复数极点得出射角:
根轨迹趋向复数零点得入射角:
根轨迹与虚轴得交点:闭环特征方程为

令,可得
由第二式得,代入第一式,得

解得
根据以上数据画根轨迹图,如图4-6a所示。

图4-6a 根轨迹图

再分析系统得稳定情况:根轨迹与虚轴第一个交点得频率为 ,
利用幅值条件可以计算出对应得增益

同样可以算得与与对应得增益
参瞧根轨迹图可知:系统稳定时得取值范围为:或
4-7 已知单位反馈系统得开环传递函数为:

得变化范围就是,试画出系统得根轨迹图。
解:按下列步骤绘制根轨迹:
①系统没有开环有限零点;开环有限极点为
②实轴上得根轨迹区间为
③根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾角为
,,
渐近线与实轴得交点为
④分离点方程为
解得分离点
闭环系统根轨迹如下图4-7a所示

图4-7a

4-8 已知反馈控制系统得开环传递函数为:

试画出与同时变化得根轨迹簇。
解:(1)列写闭环特征方程。闭环特征方程为
(2)画,从到得根轨迹。时闭环特征方程为。这相当于一个开环传递函数为

得系统。它得根轨迹就是与虚轴重合得直线。见图4-8a中由圆圈构成得根轨迹。
(3)画为常数,从到得根轨迹。给定,则闭环特征方程为

它相当于一个开环传递函数为得系统,该系统得开环极点为,开环零点为。图4-8a中不带圆圈得根轨迹就是时得根轨迹。

图4-8a

4-9 已知单位反馈系统得开环传递函数为:
得变化范围就是,试画出系统得闭环根轨迹。
解:系统闭环特征方程为

即有
等效开环传递函数为
,变化范围为
按照绘制常规根轨迹得基本法则确定根轨迹得各项参数:
(1)等效系统无开环有限零点;开环有限极点为:
(2)实轴上得根轨迹区间为
(3)根轨迹有3条渐近线,且
(4)根轨迹得分离点:由分离点方程
解得
(5)根轨迹与虚轴得交点:根据闭环特征方程列写劳斯表如下:

当时,劳斯表得行元素全为零,辅助方程为
解得
绘制系统参数根轨迹如图4-9a所示

图4-9a

4-10 已知反馈控制系统中,其开环传递函数为:

(1) 绘制时得闭环根轨迹概略图;
(2) 绘制时得闭环根轨迹概略图;
(3) 比较开环零点变化对根轨迹形状得影响。
解:(1)开环传递函数

按下列步骤绘制根轨迹:
①系统开环有限零点为;开环有限极点为,,
②实轴上得根轨迹区间为
③根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾角为
,,
渐近线与实轴得交点为

闭环系统根轨迹如下图4-10a所示

图4-10a根轨迹图

(2)开环传递函数

按下列步骤绘制根轨迹:
①系统开环有限零点为,;开环有限极点为,,,
②实轴上得根轨迹区间为 与
③根轨迹得渐近线条数为,渐近线得倾角为
,,
渐近线与实轴得交点为

闭环系统根轨迹如下图4-10b所示

图4-10b根轨迹图

4-11 给定控制系统得开环传递函数为:

试作出以为参变量得根轨迹,并利用根轨迹分取何值时闭环系统稳定。
解:(1)求系统得闭环特征方程并化成标准得形式。因为可变参数不就是分子多项式得相乘因子,所以先求系统得闭环特征方程

可改写为

则开环传递函数为

(2)根据作系统得根轨迹。中得增益为负值,所以要作系统得补根轨迹。开环极点为与,开环零点为。按照补根轨迹得作图规则,实轴上得根轨迹区间为与。在 区间有会合点,在有分离点。为求分离、会合点,将闭环特征方程改写为

由,得,解得,分别对应得增益为与,所以就是分离、会合点。可以证明,不在实轴上得根轨迹就是一个圆,圆心在,半径为。以为参变量得根轨迹如图4-11a所示, 图4-11a
图中箭头表示从到得方向,也即从到得方向。
(3)求使闭环系统稳定得取值范围。首先求根轨迹与虚轴得交点。由闭环特征方程

可知,时系统处于临界稳定状态,这相当于,所以使闭环系统稳定得范围为。
4-12 实系参数多项式函数为:

欲使得根均为实数,试确定参数得范围。
解:对作等效变换得

等效开环函数为

当时,需绘制常规根轨迹:
系统开环有限零点为;开环有限极点为,,
实轴上得根轨迹区间为与
根轨迹有2条渐近线,且
;
由分离点方程

在实轴区间内用试探法求得。绘制根轨迹图,如图4-12a所示。
当时,需绘制零度根轨迹。实轴上,零度根轨迹区间为(-∞,-3],[-2,-1]与[0,+∞]。作零度根轨迹图,如图4-12b所示。
当多项式有根时,根据模值条件得

根据常规根轨迹图,知当时,多项式得根皆为实数;根据零度根轨迹图,知当时,多项式得根亦全为实数。因此所求参数得范围为。

图4-12a 常规根轨迹 图4-12b 零度根轨迹

4-13 设系统开环传递函数为:

(1) 大致画出系统得根轨迹图;
(2) 用文字说明当时,如何求系统单位阶跃响应得超调量,峰值时间及调节时间。
解:(1)绘根轨迹图
渐近线:
分离点:由,得
相应得根轨迹增益
根轨迹与虚轴交点:闭环特征方程
列劳斯表

当时,劳斯表出现全零行,由辅助方程
得根轨迹与虚轴交点处为
根轨迹图如下图4-13a所示:

图4-13a

(2)求动态性能指标
当时,系统,闭环有两个实主导极点与,且,因此求得调节时间如下:

当时,闭环系统有一对共轭复极点,则

由于
因此
4-14 设单位负反馈系统得开环传递函数为:

试画出系统根轨迹图,并求出系统具有最小阻尼比时得闭环极点与对应得增益。
解:系统在实轴上得根轨迹区域为与
在这两段区域内,均存在分离点。为了求出分离点,令

求出
因而复数根轨迹就是以为圆心,为半径得一个圆,如图4-14a所示
图4-14a

在图上,过原点作圆得切线,得最小阻尼比线。由根轨迹图知,对于等腰直角三角形,必有
,故最小阻尼比
响应得闭环极点
由根轨迹模值条件,可求出相应得增益为

4-15 已知单位负反馈系统得开环传递函数为:

试按照步骤作出时得根轨迹图。
解:开环极点:
根轨迹在实轴上得区间
根轨迹得渐近线
分离点:
即
整理得
为了求取分离点方程得根,将上式表示为
令等效开环传递函数为
其中。若令从变到,其根轨迹如图4-15a所示。图中,渐近线

图4-15a

;分离点。
在图上,试探,检验模值条件
故符合要求,故为分离点方程得一个根。利用综合除法,有

求得分离点
分离角为
根轨迹得起始角

根轨迹与虚轴得交点:闭环特征方程为
列劳斯表

显然,当时,根轨迹与虚轴相交,由辅助方程

求得交点处
根据以上步骤,绘制系统根轨迹图4-15b

图4-15b 根轨迹图

4-16 设某单位负反馈系统得开环传递函数为:

(1) 绘制从时系统得根轨迹图;
(2) 求系统阶跃响应中含有时得值范围,其中;
(3) 求系统有一个闭环极点为时得闭环传递函数。
解:绘制根轨迹图
闭环特征方程为

写成根轨迹方程形式为:

令等效开环传递函数为

实轴上根轨迹:
分离点:由求得
与虚轴交点:列劳斯表

显然,当时系统处于临界稳定,由辅助方程并代入,解出交点处

分离点处根轨迹增益:由模值条件得:
绘出系统根轨迹如图4-16a所示

图4-16a

(2)求值范围
当系统阶跃响应含有分量时,系统处于欠阻尼状态,系统有一对具有负实部得共轭极点,值范围为
(3)求闭环传递函数
当系统具有闭环极点时,由模值条件,其对应得值为
于就是
闭环传递函数为
5-1 设系统闭环稳定,闭环传递函数为,试根据频率特性得定义证明,输入为余弦函数时,系统得稳态输出为

解:
由题目可得
对等式两边同时进行拉氏变换可得

由于系统闭环稳定,所以不存在正实部得极点。假设可表示为如下表达式

由以上分析可得,系统得闭环传递函数为

对上述闭环传递函数作如下分解

对上式等式两边进行拉氏反变换可得

由系统稳态输出得定义可得

利用留数法确定待定得系数

所以可得

5-2 若系统阶跃响应为:

试确定系统频率特性
解:
单位阶跃输入信号得拉氏变换为
系统单位阶跃响应得拉氏变换为

系统得闭环传递函数为
将代入传递函数可得

5-3 设系统结构图如图5-1所示,试确定输入信号

图5-1 习题5-3控制系统结构图

作用下,系统得稳态误差。
解:
如图5-1所示,系统得误差传递函数为

1: 备注:为什么稳态误差？
其幅频特性与相频特性分别为

当时

5-4已知系统开环传递函数
;
试分析并绘制与情况下得概略幅相曲线。
解:
由题可知,系统得频率特性如下

由于系统,所以开环幅相曲线要用虚线补画得半径为无穷大得圆弧
当时,
当时,
又由于,所以有
当时,开环幅相曲线始终处于第三象限,如图5-4a所示;
当时,开环幅相曲线始终处于第二象限,如图5-4b所示。

图5-