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(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库

单选题
1、已知a,b∈R且满足1≤a+b≤3-1≤a-b≤1，则4a+2b的取值范围是（    ）
A．[0,12]B．[4,10]C．[2,10]D．[2,8]
答案：C
分析：设4a+2b=Aa+b+Ba-b，求出A，B结合条件可得结果.
设4a+2b=Aa+b+Ba-b，可得A+B=4A-B=2，
解得A=3B=1，4a+2b=3a+b+a-b，
因为1≤a+b≤3-1≤a-b≤1可得3≤3a+b≤9-1≤a-b≤1，
所以2≤4a+2b≤10.
故选：C.
2、已知正实数a，b满足a+1b=2，则2ab+1a的最小值是（    ）
A．52B．3C．92D．22+1
答案：A
分析：由已知得， a=2-1b代入得2ab+1a=22b-1+b2b-1，令2b-1=t，根据基本不等式可求得答案.
解：因为a+1b=2，所以a=2-1b>0，所以0<b<2 ，
所以2ab+1a=22-1bb+b2b-1=22b-1+b2b-1，
令2b-1=t，则b=t+12，且-1<t<3 ，
所以2ab+1a=2t+t+12t=2t+12t+12≥22t⋅12t+12=52，当且仅当2t=12t，即t=12，b=34,a=23时，取等号，
所以2ab+1a的最小值是52.
故选：A.
3、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（     ）
A．2a2+b2≤(a+b)2B．若1a+4b=2，则 a+b≥92
C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12
答案：B
分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
对于选项A：若a>0，b>0，
由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2a2+b2≥a+b2，
当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若a>0，b>0，
12×1a+4b=1，
a+b=12×1a+4ba+b=125+ba+4ab ≥125+2ba⋅4ab=92，
当且仅当1a+4b=2且ba=4ab，
即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由a>0，b>0，
ab+b2=ba+b=2，
即a+b=2b，
如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；
对于选项D：ab≤a+b22=14，当且仅当a=b=12时取等
则ab有最大值14，所以选项D不正确；
故选：B
4、不等式5x-x2<6的解集为（    ）
A．x|x<2,或x>3B．x|-1<x<2,或3<x<6
C．x|-1<x<6D．x|2<x<3
答案：B
分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.
解：∵5x-x2<6，∴-6<5x-x2<6
∴x2-5x-6<0x2-5x+6>0⇒-1<x<6x<2或x>3⇒-1<x<2或3<x<6
则不等式的解集为：{x|-1<x<2或3<x<6}
故选：B.
5、已知实数a,b满足a+b=aba>1,b>1，则a-12+b-12的最小值为(    )
A．2B．1C．4D．5
答案：A
分析：将a-1和b-1看作整体，由a+b=aba>1,b>1构造出a-1b-1=1，根据a-12+b-12≥2a-1b-1即可求解．
由a+b=aba>1,b>1得a+b-ab-1=-1，因式分解得a-1b-1=1，
则a-12+b-12≥2a-1b-1=2，当且仅当a=b=2时取得最小值．
故选：A．
6、下列说法正确的为（    ）
A．x+1x≥2
B．函数y=2x2+4x2+3的最小值为4
C．若x>0,则x(2-x)最大值为1
D．已知a>3时，a+4a-3≥2a⋅4a-3，当且仅当a=4a-3即a=4时，a+4a-3取得最小值8
答案：C
分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；
对于选项B,y=2x2+4x2+3 =2x2+3+1x2+3=2x2+3+2x2+3，令x2+3=tt≥3，
即y=2t+2tt≥3在3,+∞上单调递增，则最小值为ymin=23+23=833,
则B不正确；
对于选项C,x(2-x)=-x2-2x+1+1=-x-12+1≤1，则C正确；
对于选项D,当a>3时，a+4a-3=a-3+4a-3+3≥2a-3⋅4a-3+3=7，当且仅当
a-3=4a-3时，即a=5，等号成立，则D不正确.
故选：C.
7、前后两个不等式解集相同的有（    ）
①x+52x-1≥0与(2x-1)(x+5)≥0        
②x+52x-1>0与(2x-1)(x+5)＞0
③x2(2x-1)(x+5)≥0与(2x-1)(x+5)≥0
④x2(2x-1)(x+5)＞0与(2x-1)(x+5)＞0
A．①②B．②④C．①③D．③④
答案：B
分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.
对于①，由x+52x-1≥0可得2x-1≠0x+52x-1≥0，解得：x>12或x≤-5.
(2x-1)(x+5)≥0的解集为：xx≥12或x≤-5，故①不正确；
对于②，由x+52x-1>0可得2x-1≠0x+52x-1>0，解得：x>12或x<-5.
(2x-1)(x+5)>0的解集为：xx>12或x<-5，故②正确；
对于③，x2(2x-1)(x+5)≥0的解集为：xx=0或x≤-5或x≥12，
(2x-1)(x+5)≥0的解集为：xx≥12或x≤-5，故③不正确；
对于④，x2(2x-1)(x+5)>0的解集为：xx<-5或x>12，
(2x-1)(x+5)>0的解集为：xx>12或x<-5，故④正确；
故选：B.
8、关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0 的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（  ）
A．(-1,0]∪[2,3) B．[-2,-1)∪(3,4] 
C．[-1，0)∪(2,3] D．(-2，-1)∪(3，4) 
答案：C
分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
由x2-(a+1)x+a<0得(x-1)(x-a)<0 ，
若a=1，则不等式无解．
若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3．
若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则-1≤a<0．
综上，满足条件的a的取值范围是[-1，0)∪(2,3]
故选：C．
9、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（    ）
A．a+b>2abB．a+b<2abC．a2+2b>2abD．a2+2b<2ab
答案：A
分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
因为a>b>0，则a+b-2ab=a-b2>0，故a+b>2ab，A对B错；
a2+2b-2ab=a2+2b-2a2⋅2b=a2-2b2≥0，即a2+2b≥2ab，
当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.
故选：A.
10、关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（    ）
A．-1B．-4C．-4或1D．-1或4
答案：A
分析：α2+β2=α+β2-2α⋅β，利用韦达定理可得答案.
∵关于x的方程x2+2m-1x+m2-m=0有两个实数根，
∴Δ=2m-12-4×1×m2-m=-4m+4⩾0，
解得：m⩽1，
∵关于x的方程x2+2m-1x+m2-m=0有两个实数根α，β，
∴α+β=-2(m-1)，α⋅β=m2-m，
∴α2+β2=α+β2-2α⋅β=-2m-12-2m2-m=12，即m2-3m-4=0，
解得：m=-1或m=4(舍去).
故选：A.
11、已知0<x<2，则y=x4-x2的最大值为（  ）
A．2B．4C．5D．6
答案：A
分析：由基本不等式求解即可
因为0<x<2，
所以可得4-x2>0，
则y=x4-x2=x2⋅4-x2≤x2+4-x22=2，
当且仅当x2=4-x2，即x=2时，上式取得等号，
y=x4-x2的最大值为2．
故选：A．
12、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（    ）
A．4B．8C．16D．32
答案：B
分析：因为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.
∵ C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
∴双曲线的渐近线方程是y=±bax
∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
联立{x=ay=bax，解得{x=ay=b
故D(a,b)
联立{x=ay=-bax，解得{x=ay=-b
故E(a,-b)
∴ |ED|=2b
∴ △ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8
∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8
当且仅当a=b=22取等号
∴ C的焦距的最小值：8
故选：B.
小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
双空题
13、张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_____.
答案：     10     18.5
分析：①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可．
解： ①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付120+70-x=180元，则x=10.
②设顾客一次购买干果的总价为M元，当0<M<150时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当M≥150时，0.8(M-x)≥0.7M.即M⩾8x对M⩾150恒成立，则8x⩽150，x⩽18.75，又2x∈Z,所以xmax=18.5.
小提示：本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养.属于基础题．
14、已知正数x,y满足x2+y2=1，则当x=________时，1x+1y取得最小值，最小值为________．
答案：     22     22
解析：先根据基本不等式得x2+y2≥2xy,结合x2+y2=1得xy≤12,再由基本不等式得1x+1y>21xy≥22,最后检验x=y=22时成立即可.
解:由基本不等式可得x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时等号成立．
∵正数x,y满足x2+y2=1,∴xy≤12,
当且仅当x=y=22时等号成立．∴1x+1y≥21xy≥22,
当且仅当x=y=22时等号成立,∴1x+1y的最小值为22．
故答案为: (1). 22    (2). 22
小提示：本题考查基本不等式,要注意”一定二正三相等”.
15、若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，1a+2b的最小值为________．
答案：     2     94
解析：对于空1，由于a>0，b>0，直接利用基本不等式可得ab=12a⋅2b≤12×a+2b22=2即可得解；对于空2，根据1的 “妙用”变形a＋2b－4＝0为a+2b4=1，和1a+2b相乘利用基本不等式即可得解.
因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，
所以a＋2b＝4，所以ab=12a⋅2b≤12×a+2b22=2，
当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，
所以ab的最大值为2，
因为1a+2b=(1a+2b)⋅a+2b4=14(5+2ba+2ab)≥14(5+22ba⋅2ab)=94 ，
当且仅当a＝b时等号成立，所以1a+2b的最小值为94.
小提示：本题考查了基本不等式及其应用，考查了“1”的妙用求最值，考查了计算能力，属于简单题.
16、若x>0，则3-3x-12x有最______值，且此最值是______．
答案：     大     3-6
分析：对3-3x-12x进行恒等变形，最后利用基本不等式可以判断出3-3x-12x的最值情况.
因为x>0，所以3-(3x+12x)≤3-23x⋅12x=3-6（当且仅当x=66时取等号）,故3-3x-12x有最大值，最大值为3-6.
小提示：本题考查了基本不等式的应用，代数式的恒等变形是解题的关键.
17、若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为{x|x<a或x>1}，则a=_____，t=_____．
答案：     -3     -3
分析：由不等式的解集可确定对应二次函数图像的开口和对应二次方程的两根，由根与系数关系即可求得a和t的值.
由不等式tx2-6x+t2<0的解集为{x∣x<a或x>1}，
可知不等式对应二次函数图像开口向下即t<0，
且1，a是方程tx2-6x+t2=0的两根，
由根与系数的关系可得1+a=6t,a=t,解得a=2,t=2或a=-3,t=-3.
∵t<0，∴a=-3,t=-3，
所以答案是：-3，-3
小提示：本题考查一元二次不等式与二次函数图像，二次方程之间关系的应用，属于基础题.
解答题
18、已知x,y都是正数，且x+y=1，
（1）求1x+4y的最小值；
（2）求1x+xy的最小值．
答案：(1)9 ；(2)3 .
分析：(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用x+y代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
(1) 1x+4y =x+y1x+4y=5+4xy+yx.
因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，
4xy+yx≥24xy⋅yx=4，
所以1x+4y≥9，当且仅当x=13 ，y=23 时等号成立.
所以1x+4y的最小值为9 .
(2) 1x+xy =x+yx+xy=1+yx+xy.
因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，
yx+xy+≥2yx⋅xy=2，
所以1x+xy≥3，当且仅当x=12 ，y=12 时等号成立.
所以1x+xy的最小值为3.
19、一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5x%；若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为1.5(a-131000x)万元，其中a>0，x>0．
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；
(2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值．
答案：(1)0<x≤300
(2)5.5
分析：（1）分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可．
（2）题中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离结合基本不等式求最值，从而得参数范围．
（1）
由题设可得1.5500-x1+0.5x%≥1.5×500，
整理得：x2-300x≤0，而x>0，故0<x≤300.
（2）
由题设得生产线B的利润为1.5a-131000xx万元，
技术改进后，生产线A的利润为1.5500-x1+0.5x%万元，
则1.5a-131000xx≤1.5500-x1+0.5x%恒成立，
故ax≤x2125+500+32x，而x>0，故a≤x125+500x+32，
而x125+500x≥4，当且仅当x=250时等号成立，
故0<a≤5.5，故a的最大值为5.5.
20、（1）若不等式ax2+1-ax+a-2≥-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+1-ax+a-2<a-1a∈R.
答案：（1）a≥13；（2）答案见解析.
分析：（1）根据题意分a=0和a>0两种情况求解；
（2）不等式等价于ax2+1-ax-1<0，然后分a=0，a>0和a<0三种情况求解.
解：（1）由题意，ax2+1-ax+a≥0恒成立，
当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，满足a>0Δ≤0，即a>01-a2-4a2≤0，解得a≥13.
（2）不等式ax2+1-ax+a-2<a-1a∈R等价于ax2+1-ax-1<0.
当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为xx<1；
当a>0时，不等式可化为ax+1x-1<0，此时-1a<1，
所以不等式的解集为x-1a<x<1；
当a<0时，不等式可化为ax+1x-1<0，
①当a=-1时，-1a=1，不等式的解集为xx≠1；
②当-1<a<0时，-1a>1，不等式的解集为{x|x>-1a或x<1}；
③当a<-1时，-1a<1，不等式的解集为{x|x>1或x<-1a}.