高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题.doc
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1、1-9页空间几何体的表面积和体积例题解析一课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆,理解为主)。二命题走向-用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式;三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积,c、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h表示斜高,l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r
2、2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径,R表示半径。四典例解析题型1:柱体的体积和表面积例1一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得: 由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)由(3)(1)得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评:涉及棱柱面积
3、问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。例2如图1所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD=。(1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的体积。图1 图2解析:(1)如图2,连结A1O,则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M,作ONAD交AD于N,连结A1M,A1N。由三垂线定得得A1MAB,A1NAD。A1AM=A1AN,RtA1NARtA1MA,A1M=A1N,
4、从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。(2)AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中,A1O2=AA12 AO2=9=,A1O=,平行六面体的体积为。题型2:柱体的表面积、体积综合问题例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是A2 B3 C6 D解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a=1,b,c,则对角线l的长为l=;答案D。点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1V2= _ _。解:设三棱柱的高为h
5、,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点,SAEF=S,V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh,V1V2=75。点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。PABCDOE题型3:锥体的体积和表面积例5在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,DAB60,对角线AC与BD相交于点O,PO平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60,求四棱锥PABCD的体积?解:(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角,PBO=60。在Rt
6、AOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是PO=BOtan60=,而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=2=2。点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例6在三棱锥SABC中,SAB=SAC=ACB=90,且AC=BC=5,SB=5。(如图所示)()证明:SCBC;()求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;()求三棱锥的体积VSABC。解析:()证明:SAB=SAC=90,SAAB,SAAC。又ABAC=A,SA平面ABC。由于ACB=90,即BCAC,由三垂线定理,得SCBC。()解:BCAC,SCBC。S
7、CA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在RtSCB中,BC=5,SB=5,得SC=10。在RtSAC中AC=5,SC=10,cosSCA=,SCA=60,即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60。()解:在RtSAC中,SA=,SABC=ACBC=55=,VSABC=SACBSA=。点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力,并进行一定的逻辑推理。题型4:锥体体积、表面积综合问题例7ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GB垂直于正方形ABCD所在的平面,且GC2,求点B到平面EFC的距离?解:如图,取EF的中点O,
8、连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。设点B到平面EFG的距离为h,BD,EF,CO。 。而GC平面ABCD,且GC2。由,得点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点,EFG为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化了运算。例8如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )AS1S2CS1=S2 DS1,S2的大小关系不
9、能确定解:连OA、OB、OC、OD,则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC,而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共,故选C点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5:棱台的体积、面积及其综合问题例9如图924,在多面体ABCDA1B1C1D1中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于E,F两点,上、下底面矩形
10、的长、宽分别为c,d与a,b,且ac,bd,两底面间的距离为h。()求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小;()证明:EF面ABCD;()在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是V=(S上底面+4S中截面+S下底面),试判断V估与V的大小关系,并加以证明。(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)图()解:过B1C1作底面ABCD的垂直平面,交底面于PQ,过B1作B1GPQ,垂足为G。如图所示:平面ABCD平面A1B1C1D1,A1B1C1=90,ABPQ,ABB1P.B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1HP
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