概率论与数理统计知识点总结(免费)(2).doc
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1、概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念2样本空间、随机事件1事件间的关系 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生 称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件发生 称为事件A与事件B的积事件,指当A,B同时发生时,事件发生 称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件发生 ,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 ,则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件2运算规则 交换律 结合律分配律 徳摩根律3频率与概率定义 在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事
2、件A发生的次数称为事件A发生的频数,比值称为事件A发生的频率概率:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1概率满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A (2)规范性:对于必然事件S (3)可列可加性:设是两两互不相容的事件,有(可以取)2概率的一些重要性质:(i) (ii)若是两两互不相容的事件,则有(可以取)(iii)设A,B是两个事件若,则,(iv)对于任意事件A,(v) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B有4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基
3、本事件,即,里5条件概率(1) 定义:设A,B是两个事件,且,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性:对于某一事件B,有 2。规范性:对于必然事件S, 3可列可加性:设是两两互不相容的事件,则有(3) 乘法定理 设,则有称为乘法公式(4) 全概率公式: 贝叶斯公式: 6独立性定义 设A,B是两事件,如果满足等式,则称事件A,B相互独立定理一 设A,B是两事件,且,若A,B相互独立,则定理二 若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与第二章 随机变量及其分布1随机变量定义 设随机试验的样本空间为是定义在样本空间S上的实值单值函数,称
4、为随机变量2离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量满足如下两个条件(1),(2)=12 三种重要的离散型随机变量(1)0-1分布 设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是,则称X服从以p为参数的0-1分布或两点分布。(2)伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果:A与,则称E为伯努利实验.设,此时.将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。 满足条件(1),(2)=1注意到是二项式的展开式中出现的那一项,我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。(3)泊松分布 设随机变
5、量X所有可能取的值为0,1,2,而取各个值的概率为 其中是常数,则称X服从参数为的泊松分布记为3随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 称为X的分布函数分布函数,具有以下性质(1) 是一个不减函数 (2) (3)4连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量:如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数,使对于任意函数x有则称x 为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度1 概率密度具有以下性质,满足(1);(3);(4)若在点x处连续,则有2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度,则成X在区间(a,b)
6、上服从均匀分布.记为 (2)指数分布若连续性随机变量X的概率密度为 其中为常数,则称X服从参数为的指数分布。(3)正态分布若连续型随机变量X的概率密度为的正态分布或高斯分布,记为特别,当时称随机变量X服从标准正态分布5随机变量的函数的分布定理 设随机变量X具有概率密度又设函数处处可导且恒有,则Y=是连续型随机变量,其概率密度为第三章 多维随机变量1二维随机变量定义 设E是一个随机试验,它的样本空间是和是定义在S上的随机变量,称为随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机变量设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数如果二维随机变量(X
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