一元一次方程典型应用题汇编(题型含答案).doc

一元一次方程的应用
1、列方程解应用题的基本步骤和方法：
步骤
要求
注意事项
审题
读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系
审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来
设元
①设未知数
②把各个量用含未知数的代数式表示出来
①设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元
②直接设元有困难时，可以间接设元
列方程
根据等量关系列出方程
避免列出恒等式
解方程
解这个方程，求出未知数的值
如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量
检验
把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验
列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来
方程的解要符合实际问题
作答
写出答案，作出结论
这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求
注意：
（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．
（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．
（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．
2、设未知数的方法：
设未知数的方法一般来讲，有以下几种：
（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；
（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．
（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．
（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题．

模块一：数字问题
（1）多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：．
（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为．

【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少?
【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．
设正确答案的十位数字为，则个位数字为，
依题意，得，解之得．
于是．所以正确答案应为48．
【答案】

【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份．
【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x，则这个四位数字可以表示为，根据题意可列方程：，解得
【答案】2499年

【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数．
【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x，则这个四位数可以表示为，则调换后的新数可以表示为，根据题意可列方程，解得，所以这个四位数为8758
【答案】8758

【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？
时间
里程碑上数的特征
7:00
是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是7
8:00
十位数字和个位数字与7:00时所看到的正好颠倒了
9:00
比7:00时看到的两位数中间多一个0

【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x，则个位数字是，根据题意可列方程：，解得，所以．
【答案】小明在7:00时看到的两位数是16．

模块二：日历问题
（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数．
（3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的．

【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，
（1）若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？
（2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？

【解析】（1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为，，．
根据题意可列方程：，解得；
所以它分别是：15，16，21，22；
（2）设第一个数为x，则，，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，
得出结论：无法构成平行四边形．
【答案】（1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形．

【例6】 如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由．

【解析】（1）设四个数字是a，，，，根据题意可列方程：
，解得．则平移后的四个数是13、14、20、21．
（2）设四个数字是x，，，，则，．不合题意，舍去．
【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形．

【例7】 把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表．
（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是________________．
（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．

【解析】（1）∵记左上角的一个数为x，∴另三个数用含x的式子表示为：，，．
（2）不能．假设能够框住这样的4个数，则：，解得．
∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．
【答案】（1），，；（2）不能．

模块三：和差倍分问题
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．
（1）当较大量是较小量的几倍多几时，；
（2）当较大量是较小量的几倍少几时，．
【例8】 一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的；第二天耕了剩下部分的，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有多少公顷？
【解析】设这片地共有x公顷，第一天耕了这片地的，则耕地公顷，第二天耕了剩下部分的，则第二天耕地（公顷），根据题意可列方程：，解得．
【答案】189．

【例9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?
【解析】设这群羊共有只，根据题意可列方程：，解得.
【答案】36

【例10】 有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的倍，细蜡烛点完需小时，粗蜡烛点完需小时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？
【解析】设停电时间为小时，粗蜡烛长米，则细蜡烛长米，那么细蜡烛每小时点燃米，粗蜡烛没小时点燃米，根据题意可列方程：，解得
【答案】停电时间为小时

【例11】 2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元．
（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？
（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？
（3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？
【解析】（1）（亿元）．
（2）设市级投入x亿元，则县级投入亿元，省级投入亿元，
由题意得：，解得．所以（亿元），（亿元）．
（3）（亿元）．
【答案】（1）1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3）6.8亿元．
模块四：行程问题
一、 行程问题
路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间
二、 流水行船问题
顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度－水流速度
水流速度=×（顺流速度－逆流速度）
三、 火车过桥问题
火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长．

【例12】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长．
【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟，则甲、丙相遇时间为分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程
【答案】8892米

【例13】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？
【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为小时，
根据题意可列方程：，解得，
此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为（千米/时）
【答案】27

【例14】 甲、乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，在A，B两地之间不断往返行驶．甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A，B两地相距多少千米？
【解析】设A、B两地相距x千米，根据题意可列方程：，解得
【答案】420千米

【例15】 某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟．回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，问A、B两地相距多少千米？
【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时，根据题意可列方程：，解得，所以A、B两地相距（千米）
【答案】9千米

【例16】 一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？
【解析】设a是第一次第一天走的路程，b是第二天起每天多走的路程，x是所求的天数．
则根据题意可列方程：
，
解得．
又，解得．
【答案】7.5天

【例17】 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？
【解析】设小船在静水中的速度为，原来的水速为，则，解得，故所求时间为（小时）.
【答案】

【例18】 一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？
【解析】因为向上游了分钟，所以返回追赶也要分钟（流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无关），即水流分钟的路程为米，水流速度为（千米∕时）．
【答案】水流速度为千米/时

【例19】 一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问：
（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
【解析】（1）设小船在静水中的速度为，水流速度为，则，解得，故小船按水流速度由A港漂流到B港所需时间为（小时）；
（2）设小船行驶小时后，救生圈掉入水中，则，将代入上式，得到，故救生圈是上午11点掉入水中的
【答案】；

模块五：工程问题
工作总量=工作时间×工作效率 各部分工作量之和=1

【例20】 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水．现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满．问三管齐开了多少小时？
【解析】由题意知，甲管注水效率为，甲、乙两管的注水效率之和为，甲、丙两管的注水效率之和为，设三管齐开了x小时，根据题意可列方程：，解得
【答案】小时

【例21】 检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天．前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？
【解析】设乙中途离开了x天，根据题意可列方程，解得
【答案】乙中途离开了3天

【例22】 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．
（1）问该中学库存多少套桌凳？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱为什么？
【解析】（1）设该中学库存x套桌凳，根据题意可列方程：，解得．
（2）方案①所需费用：（元）；
方案②所需费用：（元）；
方案③所需费用：（元）．
综上，方案③最省钱．
【答案】（1）960套；（2）方案③最省钱．

模块六：商品销售问题
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价
利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率

【例23】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.
【解析】设经销这种商品原来的利润率为，原进价为，根据题意可列方程：
，解得．
【答案】

【例24】 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，问月初的利润率是多少？
【解析】设月初进货价为a元，月初利润率为x，则月初的销售价为元，月末进货价为元，销售价为元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：，解得．
【答案】

【例25】 某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？
【解析】原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，
涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，
设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，
则涨价前每100千克成本为，涨价后每100千克成本为，
根据题意可列方程：，解得，所以
即二者的比例是：，则涨价前每千克的成本为（元），销售价为元，利润为7.5元．
原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%为3元，保证利润为7.5元，
则利润率为：．
【答案】50%．

模块七：方案决策问题
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案．

【例26】 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
【解析】（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则获投资收益，投资收益率为
按方案二购买，则获投资收益，
投资收益率为．
所以投资者选择方案二获得的投资收益率高．
（2）由题意得，，解得，所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元
【答案】略

【例27】 有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，还需7分钟到达学校．
（1）若绕道而行，要15分钟到达学校。从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后秩序恢复正常（每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
【解析】（1）王老师通过道口去学校，需要，故从节省时间角度考虑，他应选择绕道去学校；（2）设维持秩序时间为x分，则维持秩序这段时间内过道口的有3x人，维持好秩序后过道口的有人，根据题意可列方程：，解得
【答案】（1）从节省时间角度考虑，王老师应选择绕道去学校；（2）维持秩序的时间是3分钟

【例28】 老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为千米∕小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为千米∕小时．学生步行的速度为千米∕小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过小时．
【解析】设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．
设老师带甲乘摩托车行驶了千米，则用时小时，比乙多行了．这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了．乙遇到老师时，已经步行了，离博物馆还有．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得．即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时．
因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．
【答案】略

模块八：配套问题
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）
一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解．

【例29】 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓要配两个螺母．第一天安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺母，问第二天应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使两天总的生产效率最高？
【解析】设第二天应分配x人生产螺栓，人生产螺母，根据题意可列方程：，解得．
【答案】10人生产螺栓，18人生产螺母

【例30】 某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？
【解析】设生产甲种零件的有x人，则生产乙种零件的有人，根据题意可列方程：，解得
【答案】应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套

模块九：积分问题
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分．

【例31】 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了一场，得17分．
（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标．
【解析】（1）设前8场比赛中，这个球队胜x场，则平场，；
（2）（分）；
（3）由题意知：以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可．∴胜不少于4场，一定能达到目标．而胜3场，平3场正好达到预期目标．∴在以后的比赛中这个队至少要胜3场
【答案】略

【例32】 八年级三班同学参加学校趣味数学竞赛，试题共有50道．评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分．班长小明在计算全班总分时，第一次计算结果是5734分；第二次计算结果是5735分．这两次中有一次是正确的，那么正确的结果是多少分？
【解析】假设一名同学答对x题，不答y题，答错就是题，则得分为：，这个肯定是偶数，再乘上人数，随便是几个人，总分一定是偶数
【答案】5734

初中数学同步课程 《一元一次方程》. 16 / 17