归纳柯西不等式的典型应用.doc
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1、归纳柯西不等式的典型应用【摘要】:柯西不等式是一个非常重要的不等式,本文用五种不同的方法证明了柯西不等式,介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题,在证明不等式或等式,解方程,解三角形相关问题,求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式,更好的解释了柯西不等式。【关键词】:柯西不等式 ;证明;应用【引言】:本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时,老师给出了一些有关的例题并讲解,由于柯西不等式是一个非常重要的不等式,如果巧妙利用它,在高考可以节省很多宝贵时间,而且得分率高。因此,本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用,经过收集及整理资料,得到四类的典型题。【正文】:1.
2、柯西不等式的一般形式为:对任意的实数 其中等号当且仅当时成立,其中变式:2. 柯西不等式的证明:证明柯西不等式的方法总共有6 种,下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法:1)配方法:作差:因为 所以,即即当且仅当即时等号成立。2)用数学归纳法证明 i)当时,有,不等式成立。当时,。因为,故有当且仅当,即时等号成立。ii)假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时, 当且仅当时等号成立,即时等号成立。于是时不等式成立。由i)ii)可得对于任意的自然数,柯西不等式成立。3. 柯西不等式在解题中的应用3.1证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式,主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的,
3、或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法得证。例3.1.1 已知求证:。证明:由柯西不等式,得由已知则可知上式取等号,当且仅当时于是 。3.2证明不等式很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出,而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等,下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例3.2.1已知为互不相等的正整数,求证:对于任意的正整数,有不等式。证明:由柯西不等式: 于是。又因为为互不相等的正整数,故其中最小的数不小于,次小的数不小于,最大的不小于,这样就有。所以有。因为而所以有。例3.2.2:设a,b,c为正数且不相等到,求证:证明:我们利用9与2这两个常数进行巧拆,
4、9=,这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。明:2因为a,b,c各不相等, 等号不可能成立,从而原不等式成立。因此,有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是我们只要改变一下多项式的形态结构,认清其内在的结构特征,就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。3.3证明条件不等式柯西不等式中有三个因式 , ,而一般题目中只有一个或两个因式,为了运用柯西不等式,我们需要设法嵌入一个因式(嵌入的因式之和往往是定值),这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量 , 具有广泛的选择余地,任意两个元素 , (或 , ) 的交换,可以得到不同的不等式,因此在证题时根据需要重新安排各量
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