导数与函数的极值、最值问题(解析版).doc

【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
【方法点评】
类型一 利用导数研究函数的极值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 求方程的根；
第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步 利用结论写出极值.
例1 已知函数，求函数的极值.
【答案】极小值为，无极大值.
【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值．
【变式演练1】已知函数在处有极值10，则等于（ ）
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
【答案】C
【解析】
试题分析：,或．当时,在处不存在极值．‚当时，，；,符合题意．所以．．故选C．
考点：函数的单调性与极值．
【变式演练2】设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
考点：函数的极值．
【变式演练3】函数在上无极值，则_____.
【答案】
【解析】
试题分析：因为，
所以，由得或，又因为函数在上无极值，而，所以只有，时，在上单调，才合题意，故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.
【变式演练4】已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．
【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即,
由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【变式演练6】已知函数的极大值点和极小值点都在区间内, 则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】

考点：导数与极值．

类型二 求函数在闭区间上的最值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 求出函数在开区间内所有极值点；
第二步 计算函数在极值点和端点的函数值；
第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例2 若函数，在点处的斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由解之即可；
（2）为递增函数且,所以在区间上存在使，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，求之即可.
试题解析： （1），∴，即，解得；
实数的值为1；
（2）为递增函数，∴，
存在，使得，所以，
，∴
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.
【变式演练7】已知.
（1）求函数最值；
（2）若，求证：.
【答案】（1） 取最大值，无最小值；（2）详见解析.
【解析】
试题解析：（1）对求导可得，
令得x=0.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
当x=0时，取最大值，无最小值.
（2）不妨设，由（1）得
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
若，则，

考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明.
【变式演练7】已知函数，.
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点且，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由，得极值点为，分情况讨论及时，函数的最小值；（Ⅱ）当函数有两个不同的极值点，即有两个不同的实根，问题等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由单调性结合函数图象可知当时，存在，且的值随着的增大而增大，而当时，由题意，代入上述方程可得，此时实数的取值范围为.
试题解析：（Ⅰ）由，可得，
①时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上的最小值为，
②当时，在上单调递增，
，
；

两式相减可得
代入上述方程可得，
此时，
所以，实数的取值范围为；

考点：导数的应用．
【变式演练8】设函数.
（1）已知函数,求的极值；
（2）已知函数,若存在实数,使得当时,函数的最大值为,求实数的取值范围.
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.
【解析】
随的变化如下表:

当时,函数取得极大值;当时,函数取得极小值.
③当, 即时, 函数在和上单调递增, 在上单调递减, 要存在实数,使得当时, 函数的最大值为,则,代入化简得. 令,因恒成立, 故恒有时, 式恒成立; 综上，实数的取值范围是.
考点：函数导数与不等式．
【高考再现】
1. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围；
(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.
【答案】
试题解析;（Ⅰ）．
（i）设,则,只有一个零点．
（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点．
（iii）设,由得或．
若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
综上,的取值范围为．
（Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调递减,所以等价于,即．
由于,而,所以
．
设,则．
所以当时,,而,故当时,．
从而,故．
考点：导数及其应用
2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分)
已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；
（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.

（1），，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，

，，
令，.
则，
由可得，当且仅当时取得等号.
又，
设，则在单调递减，
因为，

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
3. 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
已知函数.设.
（1）求方程的根;
（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。
【答案】（1）①0 ②4（2）1
【解析】
试题解析：（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.
考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
4. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）
设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间
试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：

＋
0
－
0
＋

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，所以.
（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，
所以在区间上的取值范围为，
因此

.

考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f (x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
5. 【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．
【解析】
试题解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，

因此，． ………4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
当时，.
当时，，所以.
当时，，所以.
考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．
【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．
6. 【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【解析】
试题分析：（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．

（ii）当时，
，
当时，
．
所以，
．
考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．
【思路点睛】（I）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（ii）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．
7. 【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.

（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为

考点： 函数的单调性、极值与最值.
【名师点睛】求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．
当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
8.【2016年高考四川理数】（本小题满分14分）
设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，>0， 单调递增；（Ⅱ）.
【解析】
试题解析：（I）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（II）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.

考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．

【反馈练习】
1. 【2017届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷，文9】若在处取得极大值10，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，∴，又在处取得极大值，∴，，∴，∴，或，．当，时，，当时，，当时，，∴在处取得极小值，与题意不符；当，时，，当时，，当时，，∴在处取得极大值，符合题意；，故选C．
考点：利用导数研究函数的极值．
2. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
考点：函数导数与不等式，恒成立问题．
3．【 2016届江西新余市高三第二次模拟数学试卷，文8】等差数列中的是函数的极值点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：,是方程的两根,由韦达定理有,所以,故,选A.
考点：1.函数的极点；2.等差数列的性质；3.导数的计算.
4. 【2017届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二数学试卷，文12】已知函数.若,对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.
5. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学试卷，文15】已知数列中，，函数在处取得极值，则_________．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以，，,是以为首项, 以为公比的等比数列，故答案为．
考点：1、利用导数求函数极值；2、根据数列的递推公式求通项公式．
6. 【2017届甘肃武威二中高三上学期月考二数学试卷，文16】若正数满足（为自然对数的底数），则实数的取值范围为___________．
【答案】．
【解析】
试题分析：设，，显然，又，当时，，故是减函数，所以当时，，递增，当时，，递减，所以时，取极大值也是最大值，当（或）时，，因此，所以或，所以中．
考点： 导数与函数的单调性、极值、最值．
7. 【2017届河北正定中学高三上学期第一次月考数学试卷，文22】已知函数的两个极值点为，且．
（1）求的值；
（2）若在（其中）上是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
试题解析：（1）∵，
∴由得，∴，∴
∴由得，
∵，∴，
（2）由（1）知，在上递减，在上递增，其中，
当在上递减时， ，又，∴，
当在上递增时， ，
综上，的取值范围为
考点：1.导数在函数研究中的应用；2.单调性；3.极值.
8. 【2017届河北武邑中学高三周考8.28数学试卷，理22】已知函数．
（1）若是定义域上不单调的函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，证明：．
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1），令，当时，在单调递减，当时，，方程有两个不相等的正根，不妨设，则当时，，当时，，这时不是单调函数．综上，的取值范围是．（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值，且， 令，则当时，，在单调递减，所以，即．
（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值，
且，
，

．
令，
则当时，，在单调递减，
所以，即.
考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.
9. 【2017届黑龙江虎林一中高三上月考一数学试卷，理22】已知函数．
（1）若在处取得极小值，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
②当时，，令，得；，得．
（i）当，即时，时，，即递减，∴矛盾．
（ii）当，即时，时，，即递增，∴满足题意．
综上: ．
（3）证明：由（2）知令，当时，（当且仅当时取“”）
∴当时，．
即当，有

．
考点：1.导数的综合应用；2.不等式恒成立问题；3.不等式的证明及裂项求和的方法.
10. 【2017届云南曲靖一中高三上月考二数学试卷，理22】已知函数的导函数为，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）.
【解析】
试题解析：（1）当时，，令得，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，故，
令，要使对满足的一切成立，
则解得.
（3）因为，所以，
即对一切恒成立，
，令，
则，因为，所以，故在单调递增，
有，因此，从而，
所以.
考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求最值；2、不等式恒成立问题.
11. 【2016届河北南宫一中学高三仿真模拟数学试卷，理22】若函数的反函数记为，已知函数．
（1）设函数，试判断函数的极值点个数；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）个；（2）．
【解析】
试题解析：（1），当时，是减函数，也是减函数，
∴在上是减函数，当时，，
当时，，∴在上有且只有一个变号零点，
∴在定义域上有且只有一个极值点．．
（2）令，要使总成立，只需时，，对求导得，
令，则，
∴在上为增函数，∴．

考点：1．函数的极值点；2．含参讨论函数的单调性与最值．
12. 【2017届安徽蚌埠二中等四校高三10月联考数学试卷，理22】设函数，．
（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；
（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
②证明：不等式．
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由的解,即可得出极值点,得出值后,再利用导函数求单调区间；（2）①本题为恒成立问题,利用函数的增减性和端点值来求解,而函数的单调性由导函数的正负来决定；②运用不等式的放缩与基本不等式的性质,证明右边项时采用了数列的增减性的基本定义来证明,通过说明数列时单调递减来证明不等式,在证明右侧时,采用将裂项的方法,将详见得到的每一项放缩,最后利用裂项相消来证得不等式成立．

（2）①由已知得：
（ⅰ）若，则时，
∴在上为减函数，
∴在上恒成立；
（ⅱ）若，则时，
∴在上为增函数，
∴，不能使在上恒成立；
（ⅲ）若，则时，，
当时，，∴在上为增函数，
此时，∴不能使在上恒成立；
综上所述，的取值范围是．

故
．
考点：1．函数的极值；2．恒成立问题；3．导数证明不等式．
37 / 37