线性代数在中学数学中的应用概要.doc
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1、苏州大学本科生毕业设计(论文)目 录摘要1ABSTRACT2前言3第1章 行列式在中学数学中的应用41.1 用行列式证明等式41.2 用行列式分解因式51.3 行列式在解析几何中的应用6第2章 线性方程组在中学数学中的应用7第3章 二次型理论在中学数学中的应用8第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用104.1 中学数学引入矩阵的意义104.2 中学数学中矩阵与变换114.3 线性变换面积定理114.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系124.5 中学数学中矩阵变换的常见类型12第5章 用向量法解决初等几何问题13结论15参考文献16致谢17摘要线性代数是数学的一个分支,是一门数学基础课程近几
2、年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用本文共分为五个部分:例说行列式在中学数学中的应用,线性方程组在中学数学中的应用,二次型理论在中学数学中的应用,矩阵与变换引入中学数学的意义及应用,用向量法解决初等几何问题本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程关 键 词:行列式 齐次线性方程组 二次型 矩阵 向量 AbstractLinear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation course. In recent years, some
3、content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divided into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of determinant, Linear equations, quadra
4、tic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematics.Keywords: determinant homogeneous linear system quadratic form matrixvector 前言线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程,它本身理论性强,并且计算繁杂作为高等学校基础课,除了作为各门学科的重要工具以外,还是提高人才的全面素质中起着重要的作用,他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识学习数学就必须
5、解题,解题要以自己的实践过程来实现本文在阐述一些重要的概念和定理之后,常常附以具体例子,这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容,掌握解决问题的思路和算法步骤,以减少理解障碍,从而提高逻辑读者的推理和判断的能力第1章 行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.1 用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法,利用其结果相等而得到等式的证明.例1 已知,求证.证明:令,则,即例2 已知,求证:.证明:令,则有.例3 在中,求证.证明 由于所以,在中,成立.例 4求
6、证:.证明:因为又,故1.2 用行列式分解因式由行列式的定义,.由此启发,我们可以把一个代数式看成两个式子的差,而每个式子又可以看成两个因式的乘积,即(均为代数式),于是.由此即可根据行列式的性质,对某些多项式进行因式分解.例1分解因式.解:.例2 将分解因式.解:.例3 分解因式.解:.利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.1.3 行列式在解析几何中的应用定理1(1)以平面内三点为顶点的的面积的绝对值.(2)通过两点的直线方程为.例 求过点和点的直线的方程.解 由,得直线的方程为.(3)平面内三条直线.相较于一点或互相平行的充要条件是:.推论
7、平面上三点在一条直线上的充要条件是.定理2 通过平面上三点的圆的方程为.例1 平面上给出三个两两相交的圆,每两个圆有一条根轴,则三条根轴互相平行或交于一点.证明:设三个圆的方程分别为.两两相减得三条交线正是所述三条根轴,它们所在的直线方程为三条直线方程的系数行列式为故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新.第2章 线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学就学过,主要是研究若干变量的相互关系,比如下面就是一个线性方程组的例子:一个庙里有一百个和尚,这中间有大和尚有小和尚,这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒
8、头,其中大和尚一个人吃三个,小和尚三个人吃一个,问大和尚和小和尚各多少人?解 设大和尚的数目是,小和尚的数目是,则有, 解之得 其实,更多元的线性方程组也是同样的解法.定理 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式等零.例1已知函数,证明、中至少有一个不小于.解把=1,2,3代入函数表达式,列方程组上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解,故,展开整理得,假设结论不成立,即, , ,易推出,从而产生矛盾,故命题成立.例2 已知,求证:.证明:由已知得关于得方程组因为不可能为零,所以由定理知化简得即.由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程
9、组,构造三阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.第3章 二次型理论在中学数学中的应用考虑一个 n 元二次型:,其中,.定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和,称为的标准型.定理1 实数域上任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替换变成平方和(1)的形式.定理2 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0,或秩等于1.例 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解,若能,分解之.解 1) 令,则,下面考虑的秩和符号差,对作非线性替换:, 即 有,可见的秩是3,有定理2,知不
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