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讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

祁丽梅
赤峰学院数学与统计学院 ，赤峰 024000
摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。
关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微
一、 引言
多元函数微分学是数学学习中的重要内容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。
二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系
1、若二元函数在其定义域内某点可微，则二元函数在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。
可微的必要条件：
若二元函数在可微，则二元函数在存在两个偏导数，且全微分中的与分别是与
其中为变量的改变量，则，于是
二元函数的全微分为
类似的元函数在点的全微分为
我们知道一元函数的可微与可导是等价的，但通过上述情况可以知道二元函数可微一定存在两个偏导数，反之二元函数存在两个偏导数却不一定可微。
例1
函数在原点存在两个偏导数，由偏导数定义有

两个偏导数都存在，但在原点不可微
证明：假设它在原点可微

特别地，取 有

于是

即 比不是高阶无穷小。与可微定义矛盾，于是
函数在原点不可微。
二元函数在的全微分涉及函数在点
邻域内所有点的函数值，而偏导数与存在并不能保证函数在可微。
2、 若二元函数函数在其定义域内的某点可微,则二元函数在该点连续，反过来则不一定成立。
3、 函数在可微
是指在该点的全增量与其全微分之差是关于的高阶无穷小，当时的高阶无穷小，即 其中
从全微分定义可知，，则
因此函数在连续。
若函数在点可微，则它在该点一定连续，但反之是不一定成立的。
例2
在原点连续，但在原点不可微。
事实上 不存在
也不存在
即 该函数在原点的偏导数是不存在的。
例2
设
则在点连续，偏倒数存在，但在该点不可微。
1）

故在点偏导数存在
2）
所以，故
在点连续。
3）
此时，若取，则

此极限显然不存在，所以不存在，故在点不可微。
3、二院函数在其定义域内某点是否连续与偏导数存在无关。
我们知道，若一元函数在点可导，则在连续。但反过来若一元函数在连续，则它在该点的导数却不一定存在。这就是所谓的可导必连续，连续不一定可导。
然而，二元函数在某点有关于和的两个偏导数存在，可是在点却不一定连续。这是因为在点存在关于的偏导数，只能得到一元函数在点连续。同样，由存在，只能得到一元函数在连续，
但是，并不能得出在点连续。
例4

同理
于是，函数在点存在两个偏导数，但是沿着直线，有。沿着直线，有即函数在点不存在极限，则函数在点不连续。
例5
在点连续，但它在点处偏导却不存在
事实上：

即在点连续，
，此极限不存在
同理也不存在。
以上两例题说明：
1）二元函数在点偏导数存在，二元函数在点可以不连续；
2）二元函数在点连续，二元函数在点偏导数也可能不存在；
即二元函数在点偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关。但反之是不一定成立的。
4、函数的偏导数再点的某邻域内存在，且在点处连续，则二元函数在该点可微。
如果函数的偏导数在某点的某邻域内存在，且，在某点连续（函数在已经连续），那么函数在某点可微。
把全增量记作

第一个括号里部分是函数 关于的偏增量；第二个括号部分，则是函数关于的偏增量。
对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得
,
由于，在点连续，因此有

从而，有

而
或
于是

即函数在点可微。
5、定理1：设函数在点的某领域内有定义，若作为的一元函数在连续，在内有界，则在点连续。
证明：任取 则

（1）
因为又由在内有界，所以对于取定的，作为的一元函数在以和为两端点的闭区间上可导，所以依据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理
，

代入（1）式有

（2）
因为，所以有界，所以当时 有
由作为的一元函数在连续，所以当时，有

所以由（2）有

所以 在点连续。
同理可得如下的定理
定理2:设函数在点的某领域内有定义，若作为的一元函数在连续，在内有界，则在点连续。
三、将定理1推广到多元的情形中去
定理3：设函数在点的某领域内有定义，若在内有界，，作为的

元函数在点连续，则在在点连续。
证明：在内任取点
则
（3）
又因为在内有界，，所以对于固定的（），作为的一元函数在以和为端点的闭区间上可导，从而根据一元函数微分学中的Lagrange中值定理使得
（4）
因为
所以有界，
所以当 时
有
又依据定理条件：作为的元函数在点
连续
所以，当时，有

所以，当时，由（3）（4）有，

所以，在点连续。
总结
上述结论说明 在点连续、偏导数存在、及可微之间虽然没有直接的联系, 但它们都有间接的联系，而以上所述是多元函数中时的情况，最后将部分关系推广到了多元函数中。
参考文献
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[2]孙本利 多元函数连续、偏导、全微分之间的关系[J] 科技创新报Science and Technology Innovation Herald 2010 No.7 128
[3]张一敏 函数连续性、可微性与导函数存在的关系[J] 绥化学院学报 2011 31(4) 188-190
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[5]高等教育出版社 数学分析讲义（下册）第五版[M] 2008 4 136-208

Discuss multivariate function differentiable continuous, partial derivatives, the relationship between

QI limei
College of mathematics and statistics，Chifeng University,chifeng 024000
Abstract: In this paper, the continuity, the partial derivative of binary function and the relationship between the differentiable by instance to do in-depth discussion, and then extended to multivariate function to summarizing the multivariate function differential calculus about the above, the relationship between the three concepts of binary function and through the concrete instance prove it in detail.
Key words:Dualfunction ;Function of many variables ;succession ;Partial derivatives; exist ; differentiable

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