江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市2019届高三年级第二次模拟考试数学试题.doc

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市2019届高三年级第二次模拟考试数学试题
江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市2019届高三年级第二次模拟考试数学试题
数学Ⅰ
一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）
1、已知集合. 若，则实数的值为 .
2、复数（为虚数单位）的实部为 .
3、某单位普通职工和行政人员共280人，为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为56的样本. 已知从普通员工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为 .
4、从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 .
5、执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为 .

6、函数的定义域为 .
7、将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 .
8、在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点A（2，0）到渐近线的距离为，则的值为 .
9、在△ABC中，已知，且△ABC的面积为，则AB的长为 .
10、设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且，则球O的表面积为 .
11、定义在R上的奇函数满足，且在区间上，，则函数的零点的个数为 .
12、已知关于的不等式的解集为，则的最小值为 .
13、在平面直角坐标系中，已知点A，B在圆上，且，点P（3，-1），，设AB的中点M的横坐标为，则的所有值为 .
14、已知集合，从集合A中取出个不同元素，其和记为S；从集合B中取出个不同元素，其和记为T. 若，则的最大值为 .
二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、在平面直角坐标系中，设向量，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.

16、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1. 设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.
求证:（1）DE∥平面ABB1A1；
（2）BC1⊥平面A1B1C.
A
B
C
D
E
A1
C1
B1

17、图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成. 如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形. 点F在平面ABCD和BC上的投影分别为H，M. 已知，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍. 设.
（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为. 现欲造一栋上、下总高度为的别墅，试问: 当为何值时，总造价最低?
①
A
B
C
D
E
F
H
M
②

18、如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，与的长轴长之比为，离心率相同.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P为椭圆上一点.
①射线PO与椭圆依次交于点A、B，求证:为定值；
②过点P作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆均有且只有一个公共点，求证:为定值.
x
y
A
B
O
P

19、已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数在处的切线方程为，若函数在上是单调增函数，求的值；
（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点? 并说明理由.

20、已知数列的各项均不为零. 设数列的前项和为，数列的前项和为，且.
（1）求的值；
（2）证明: 数列是等比数列；
（3）若对任意的恒成立，求实数的所有值.

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港七市2019届高三年级第二次模拟考试数学试题
数学Ⅱ（附加题）
21、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A、[选修4-2: 矩阵与变换]（10分）
已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵及另一个特征值.

B、[选修4-4: 坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），椭圆C的参数方程为（为参数）. 设直线与椭圆C交于A、B两点，求线段AB的长.

C、[选修4-5: 不等式选讲]（10分）
已知均是正实数，且，求证:.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=1，AP=AD=2.
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置.
A
B
C
D
P

23、已知均为非负实数，且.
证明:（1）当时，；
（2）对于任意的，.
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