伴随矩阵的性质及其应用.doc
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1、伴随矩阵的性质及其应用 摘要:伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究
2、伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。 矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域,也会出现无穷维的矩阵,是矩阵的一种推广。然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置,通过它可以推导出逆矩阵的计算公式,使方阵求逆的问题得
3、到解决,伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。关键词:伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A=中元素的代数余子式,则矩阵A=称为A的伴随矩阵。定义2.设A为n阶方阵,如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵,记为B=。*注意:只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2、伴随矩阵的性质性质1.设A为n阶方阵,AA=AA=E . 证明:由行列式按一列(行)展开:AA=AA=E, 其中=。 性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退
4、化,即. 证明:若0,则A可逆,且= ;反之,若A可逆,则有AA-1 =E,所以|AA-1|=|A|A-1|=1故|A|=0.即A非退化。性质3.1.若A为非奇异矩阵,则.证明:因为,由性质2两边取逆可得 故,另一方面,由性质2 有, 由.性质3.2.设A为n阶矩阵,则秩A=.证明:(1)当秩A=时,则A是可逆的,即有存在,所以 .可见,秩=。反之,当秩=n时,可逆时,则有存在,所以 =,有0,因A=0,从而=0,这与秩=矛盾,所以0,于是秩(A)=;(2)当秩(A)=时,则A必有一个阶子式不为0,即中至少有一个元素不为0,所以,秩(),另外秩(A)=.则=0,于是,从而,秩(A)+秩()反之
5、,若秩()=1,则中必有一个,即是说必有一个阶子式不为零,故秩但不能有秩(A)=,否则,有秩=,而这样与秩矛盾,所以秩(A),则(A),因此,秩(A)=.(3)当秩(A)时,则A中一切阶子式均为0,于是一切所以,这时有秩反之,若秩则亦即A的一切阶子式为0,所以秩(A).该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩,A的秩可以直接求出,通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵.性质4.秩.性质5.=,其中A是n阶方阵(n2).证明:若0, AA=E, =若=0,这时秩A1,=0,而也有=综合得=.性质6.若A是n阶非零实矩阵,.证明:用反证法,若令一方面,设A=0 (2)由(2)式主对角元素均等于0,可得此即A=
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