全等三角形经典例题详解.doc

【例题精选】：

例1：已知：如图，过DABC的顶点A，作AF⊥AB且AF=AB，作AH⊥AC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH与CF交于D点。
求证：（1）BH=CF（2）BH⊥CF

例2：已知，如图：BD、CE是DABC的高，分别在高上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。
求证：AQ=AP

例3：已知：如图，OA=OB、OC=OD求证：AE=BE

例4：已知：如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。
求证：AE=AD+BE

例：已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别在AC、AB边上，∠EDF=90°。
求证：

例1分析：从图中可观察分析，若证BH=CF，显然，若能证出DABH≌DAFC，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF和∠HAC都是直角。而图中的∠BAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。
证明：
（1）∵AF⊥AB，AH⊥AC
∴∠BAF=∠HAC=90°
∴∠BAF+∠BAC=∠HAC+∠BAC
∴即∠FAC=∠BAH
在DABH和DAFC中

∴DABH≌DAFC（边角边）
∴BH=FC（全等三角形对应边相等）
（2）设AC与BH交于点P
在DAPH中
∵∠HAP=90°
∴∠2+∠3=90°（直角三角形中两个锐角互余）

∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°
在DPDC中
∵∠1+∠4=90°
∴∠HDC=90°
∴BH⊥CF
例2分析：从要证的结论AQ=AP，只有在DABP和DQCA中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有∠BDA=∠CEA=90°，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。
证明：
∵BD⊥AC于D
CE⊥AB于E
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°
∴∠1=∠2
在DABP和DPCA中

∴DABP≌DQCA（边角边）
∴AQ=AP（全等三角形对应边相等）
例3分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在DADE和DBCE中去寻找答案，而要证明DADE≌DBCE，比较明显的有一组对顶角相等，即∠AED=∠BEC，另外可以通过等式性质得到，OA－OD=OB－OC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B（或∠ADE=∠BCE），∠A=∠B除了是DADE和DBCE的对应角外，它们还是DAOC和DBOD的对应角，只要DAOC≌DBOD，那么就可以推出∠A=∠B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下DAOC和DBOD全等条件够吗？
证明：
在DAOC和DBOD中

∴DAOC≌DBOD（边角边）
∴∠A=∠B（全等三角形的对应角相等）
∵OA=OB（已知）
OC=OD（已知）
∴AD=BC（等式性质）
在DADE和DBCE中

∴DADE≌DBCE（角角边）
∴AE=BE（全等三角形对应边相等）
同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE来证明DADE≌DBCE 呢？
例4分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。
证明（一）：
在AB上截AF=AD，连结EF
在DADE和DAFE中

∴DADE≌DAFE
∴∠D=∠AFE（全等三角形对应角相等）
∵AD∥BC（已知）
∴∠D+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠D=∠AFE（已证）
∴∠BFE=∠C（等角的补角相等）
在DBFE和DBCE中

∴DBFE≌DBCE（角角边）
∴BF=BC
∴AB=AD+BC
证明（二）：
延长AE、BC交于点F。
∵AE、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线。
又∵AD∥BC
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°（两直线平等，同旁内角互补）
∴∠2+∠3=90°
∴∠AEB=90°
∴∠BEF=90°
在DABE和DFBE中

∴DABE≌DFBE （角边角）
∴AB=BF
AE=EF
在DAED和DFEC中

∴DAED≌DFEC
∴AD=FC
∴AB=AD+BC（等量代换）
例5分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。
证明（一）：
在AE上截取AF=AD，连结FC。
在DAFC和DADC中

∴DAFC≌DADC（边角边）
∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）
∵∠B+∠D=180°（已知）
∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）
在DCEB和DCEF中

∴DCEB≌DCEF （角角边）
∴BE=EF
∵AE=AF+EF
∴AE=AD+BE（等量代换）
证明（二）：
在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。
同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？
小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
如例：
已知：DABC中，AD是BC边上的中线
求证：
分析：求证，即可变形为，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等，而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而解了。

证明：
延长AD至E，使DE=AD，连结BE。
在DADC和DEDB中

∴DADC≌DEDB（边角边）
∴AC=BE（全等三角形对应边相等）
在DABE中
（三角形中，两边之和大于第三边）
∴
又如前面的例4、例5，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180°，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。
下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑思维习惯。
分析：从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，D是中点，可考虑延长，又考虑到∠EDF是直角，所以可以达到把EF用EG代换，而BF可以用CG代换，问题可以得到解决。
证明：
延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG。
在DEFD和DEGD中

∴DEFD≌DEGD（边角边）
∴EF=EG（全等三角形对应边相等）
在DBDF和DCDG中

∴DBDF≌DCDG（边角边）
∴CG=BF
在DCEG中
∵
∴

【专项训练】：

1、已知：如图，AD//BC，AD=BC。求证：AB=DC

2、已知：如图，AD//BC，AD=BC，AE=CF。求证：∠B=∠D

3、已知：如图，AC=BD，AE=DF，AE⊥AD于A，DF⊥AD于F求证：EB∥CF

4、已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：CE=BD

5、已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BE=CF。求证：AB=DC

6、已知：如图，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE。求证：AC⊥CE

7、已知：如图，AE=AD，∠1=∠2。
求证：∠B=∠C

8、已知：如图，AC=BD，∠BAC=∠ABD。
求证：AD=BC；∠CAD=∠DBC

9、已知：如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE。
求证：（1）BE=DC（2）BE⊥DC

10、已知：如图，AD是的中线，BE⊥AD交延长线于E，CF⊥AD于F。求证：BE=CF

11、已知：如图，，AC=CE，AE交CF于B，ED⊥CB于D，AF⊥CF于F。
求证：（1）∠ACF=∠CED（2）DF=CF－AF

12、已知：如图，AB、CD、EF互相平分于点O。求证：∠AEC=∠BFD

13、已知：如图，中，，AD、CE是的角平分线，相交于点O。求证：AE+CD=AC

14、已知：如图，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是的中线。求证：AC=2AE