数学:第二章《平面解析几何初步》同步练习二(新人教B版必修2).doc
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山东省新人教B版2012届高三单元测试5 必修2第二章《平面解析几何初步》 (本卷共150分,考试时间120分钟) 一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线3ax-y-1=0与直线(a-)x+y+1=0垂直,则a的值是( ) A.-1或 B.1或 C.-或-1 D.-或1 解析:选D.由3a(a-)+(-1)×1=0,得a=-或a=1. 2.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形大致是图中的( ) 解析:选C.直线l1:ax-y+b=0,斜率为a,在y轴上的截距为b, 设k1=a,m1=b.直线l2:bx-y+a=0,斜率为b,在y轴上的截距为a, 设k2=b,m2=a. 由A知:因为l1∥l2,k1=k2>0,m1>m2>0,即a=b>0,b>a>0,矛盾. 由B知:k1<0<k2,m1>m2>0,即a<0<b,b>a>0,矛盾. 由C知:k1>k2>0,m2>m1>0,即a>b>0,可以成立. 由D知:k1>k2>0,m2>0>m1,即a>b>0,a>0>b,矛盾. 3.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( ) A.6-2 B.8 C.4 D.10 解析:选B.点A关于x轴对称点A′(-1,-1),A′与圆心(5,7)的距离为=10.∴所求最短路程为10-2=8. 4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 解析:选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距0<2-1=1,所以两圆内含. 5.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,a的值等于( ) A. B.-1 C.2- D.+1 解析:选B.圆心(a,2)到直线l:x-y+3=0的距离d==,依题意2+2=4,解得a=-1. 6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是( ) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0[来源:学科网ZXXK] 解析:选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0, ∴设所求直线方程为2x+3y+c=0, 由=, ∴c=8,或c=-6(舍去), ∴所求直线方程为2x+3y+8=0. 7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切,则切线方程为( ) A.y-2=(1-x) B.y-2=(x-1) C.x=1或y-2=(1-x) D.x=1或y-2=(x-1) 解析:选B.数形结合答案容易错选D,但要注意直线的表达式是点斜式,说明直线的斜率存在,它与直线过点(1,2)要有所区分. 8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.随a值变化而变化 解析:选C.直线y=ax+1过定点(0,1),而该点一定在圆内部.[来源:Zxxk.Com] 9.过P(5,4)作圆C:x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A、B,四边形PACB的面积是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析:选B.∵圆C的圆心为(1,1),半径为. ∴|PC|==5, ∴|PA|=|PB|==2, ∴S=×2××2=10. 10.若直线mx+2ny-4=0(m、n∈R,n≠m)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,-1) C.(-∞,1) D.(-∞,-1) 解析:选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1. 11.已知直线l:y=x+m与曲线y=有两个公共点,则实数m的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-1,1) C.[1,) D.(-,) 解析:选C. 曲线y=表示单位圆的上半部分,画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象,可观察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时,直线l与曲线有两个交点. 当直线l过点(-1,0)时,m=1;[来源:Zxxk.Com] 当直线l为圆的上切线时,m=(注:m=-,直线l为下切线). 12.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为( ) A.4 B.2 C. D. 解析:选A.∵点P在圆上, ∴切线l的斜率k=-=-=. ∴直线l的方程为y-4=(x+2), 即4x-3y+20=0. 又直线m与l平行, ∴直线m的方程为4x-3y=0. 故两平行直线的距离为d==4. 二、填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上) 13.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________. 解析:易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1),半径r=|OA|=2. 答案:(x-1)2+(y-1)2=4 14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点,则|PA|·|PB|=________. 解析:过P作圆的切线PC,切点为C,在Rt△POC中,易求|PC|=,由切割线定理,|PA|·|PB|=|PC|2=3. 答案:3 15.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac的值为________. 解析:已知直线斜率k1=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-.∵两直线垂直,∴(-2)·(-)=-1,得a=-1.圆心到切线的距离为,即=,∴c=±5,故ac=±5. 答案:±5 16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是__________. 解析:将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程, 得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d==>1, ∴m<0或m>10. 答案:(-∞,0)∪(10,+∞) 三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程. 解:AC边上的高线2x-3y+1=0, 所以kAC=-. 所以AC的方程为y-2=-(x-1), 即3x+2y-7=0, 同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.[来源:学§科§网Z§X§X§K] 下面求直线BC的方程, 由得顶点C(7,-7), 由得顶点B(-2,-1). 所以kBC=-,直线BC:y+1=-(x+2), 即2x+3y+7=0. 18.一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0有公共点. (1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程; (2)求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围. 解:圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1. (1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2,-2),过点A,C′的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程. (2)A关于x轴的对称点为A′(-3,-3), 设过点A′的直线为y+3=k(x+3). 当该直线与圆C相切时,有=1,解得k=或k=, 所以过点A′的圆C的两条切线分别为y+3=(x+3),y+3=(x+3). 令y=0,得x1=-,x2=1, 所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-,1]. 19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0. (1)此方程表示圆,求m的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值; (3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程. 解:(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m, ∵此方程表示圆, ∴5-m>0,即m<5. (2) 消去x得(4-2y)2+y2-2×(4-2y)-4y+m=0, 化简得5y2-16y+m+8=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0 即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得 16-8×+5×=0, 解之得m=. (3)由m=,代入5y2-16y+m+8=0, 化简整理得25y2-80y+48=0,解得y1=,y2=. ∴x1=4-2y1=-,x2=4-2y2=. ∴M,N, ∴MN的中点C的坐标为. 又|MN|= =, ∴所求圆的半径为. ∴所求圆的方程为2+2=. 20. 已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图. (1)求a、b间关系; (2)求|PQ|的最小值; (3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程. 解:(1)连接OQ、OP,则△OQP为直角三角形, 又|PQ|=|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2 =1+|PA|2, 所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2, 故2a+b-3=0. (2)由(1)知,P在直线l:2x+y-3=0上, 所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线l的距离, 所以|PQ|min==. (或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8,得|PQ|min=.) (3)以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0,所以r=-1=-1, 又l′:x-2y=0, 联立l:2x+y-3=0得P0(,). 所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=(-1)2. 21.有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程. 解:法一:由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0,又因为此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ=-1,所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0. 法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|,CA⊥l,得 解得所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-)2=. 法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CA⊥l,A(3,6),B(5,2)在圆上,得 解得 所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0. 法四:设圆心为C,则CA⊥l,又设AC与圆的另一交点为P,则CA的方程为y-6=-(x-3), 即3x+4y-33=0. 又因为kAB==-2, 所以kBP=,所以直线BP的方程为x-2y-1=0. 解方程组得所以P(7,3). 所以圆心为AP的中点(5,),半径为|AC|=.[来源:Z,xx,k.Com] 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-)2=. 22.如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标. 解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为圆C1被直线l截得的弦长为2,所以d==1. 由点到直线的距离公式得d=, 从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-, 所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a).因为圆C1和C2的半径相等,且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即 =, 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以 或 解得或 这样点P只可能是点P1或点P2. 经检验点P1和P2满足题目条件.- 配套讲稿:
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