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不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将转化成，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，为无理函数时，常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如
；；；（其中）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析
（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明
（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数，若存在函数，使得该区间上每一点处都有，则称是在该区间上的原函数，而表达式称为的不定积分。
（2）的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求的不定积分时，只需求出的一个原函数，再加上一个任意常数即可，即。
（3）原函数与不定积分是个体与全体的关系，只是的某个原函数，而是的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数后，即才能成为的不定积分，例如都是的原函数，但都不是的不定积分，只有才是的不定积分（其中是任意常数）。
（4）的不定积分中隐含着积分常数，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数。
（5）原函数存在的条件：如果函数是某区间上连续，则在此区间上的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。
（二）换元积分法的几点说明
换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。
（1）第一换元积分法（凑微分法）：令
若已知，则有

其中是可微函数，是任意常数。
应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。
（1）、
具体应用为

=
（2）

、、均为常数，且。例如：

（3）为常数，
（4）且；
（5）
（6）
（7）
（8）
在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求

时，应将凑成；求

时，应将凑成；而求时，就不能照搬上述两种凑法，应将凑成，即。
（2）第二换元法积分法：令，常用于被积函数含或等形式。
常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示：
表5-1
代换名称
被积函数含有
换元式
三
角
代
换

无
理
代
换

即
即
为的最小公倍数

（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。
（三）关于积分形式不变性
在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：
如果，那么有，其中是的可微函数。这个定理说明：
（1）积分变量无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。
（2）根据这个定理，基本积分表中的既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式

现在就可以看作是

其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数能够写成的形式，且已知，则有

同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误。
（四）分部积分法
设是可微函数，且或有原函数，则有分部积分公式：

或
当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成或的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式，或，再计算，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做和的原则是：①根据容易求出；②要比原积分容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其和的选择规律，一归纳如表5-2。
表5-2
分类
不定积分类型
和的选择
I

II

III

或
或
说明（1）表5-2中，表示次多项式。
（2）表5-2中的等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型，例，表示对所有正弦函数均适用，而表示对所有均适用，其它几个函数也如此。
（3）III类积分中，也可选择（或），无论怎么样选择，都得到递推循环形式，再通过移项、整理才能得到积分结果。
（五）有理函数的积分
有理函数可分为如下三种类型：
（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。
（2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和：

其中为常数，。
因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。
（3）有理假分式（分子次数不低于分母次数）；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）
综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的，后者可通过凑微分法求出的结果。
二、例题分析
例1 为下列各题选择正确答案：
（1）（ ）是函数的原函数
A． B．
C． D．
（2）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（3）下列等式中（ ）是正确的
A．
B．
C．
D．
（4）若，则（ ）
A． B．
C． D．
（5）下列函数中，（ ）不是的原函数。
A． B．
C． D．
解（1）根据原函数的概念，验证所给函数是否满足。由于
A中
B中
C中
D中
故正确选项为D。
（2）根据不定积分的性质可知

于是
故正确选择为
（3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知

其中是变量或可微函数，据此可知：
A中应为（缺）
B中应为（缺）
C中应为（不应没有）
D中应为

正确选项应为D
（4）设则，于是

正确选项应为D
（5）根据原函数定义，对所给答案一一求导可知不是的原函数，故正确选项B。
例2 给出下列各题的正确答案：
（1） ；
（2） ；
（3）若，则 ；
（4）通过点斜率为的曲线方程为 ；
解（1）设，则，于是

应填
（2）设，则

应填
（3）由于，故因此

应填
注意：
（4）设曲线方程为，则于是

通过点，则有，即，故所求曲线方程为
例3 求下列不定积分：
（1）； （2）
（3）； （4）.
分析 题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不定各分的运算性质，便可得出结果。
解 （1）
根据积分公式
在此故
原积分
（2）由于，根据不定积分的运算性质，有

（3）

（4）由于，所以

小结：（1）从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进行计算，而要先对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用的恒等变形手段主要有：分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。
（2）将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C即可。
（3）检验积分结果正确与否时，只需将所得结果求导（或微分）即可，若其导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）时，则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。
例4 求下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）由于，所以

（2）由于，所以

（3）由于所以

故 原积分
（4）

例5 计算下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
分析 观察这些积分中的被积函数，发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的变形也化不成表中公式的形式，因此需采取新的方法——换元积分法求解。
解 （1）观察题目发现，此被积表达式与基本各分表中公式
（*）
类似，但又不完全一致，那么能否套用公式（*）直接得到

呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式（*）中的被积函数已换为
，
而积分变量的微分依然是，没有相庆地换为。正确的做法是先设中间变量，然后使被积表达式化成公式（*）的形式再求解。
设，则，，于是

再将代回，得
原积分
注：本题也可不写中间变量，而用凑微分法来解：根据有

（2）设，则，于是

本题也可采用凑微分法求解：由于，想到公式

于是有

（3）设，则，，于是

如果熟悉凑微分式子

（4）设，则，于是

或者用凑微分法计算：因为所以

用第一换元积分法（凑微分法）计算不定积分时，要根据被积函数的形式来决定如何来设置中间变量或凑微分，一般常见的符合凑微分形式的不定积分类型可参阅疑难解析中的（二）。
例6 计算下列不定积分：
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）设，则于是

或凑微分法计算：由，得

（2）观察题目，不易直接看出如何进行换元，不妨将积函数先做变形

联想到积分公式，于是有

熟练掌握凑微分形式后，可以省去换元步聚，直接求出结果。
（3）由可以看成是于关的函数，所以

（4）
进行换元积分（或凑微分）运算时，有时由于中间变量设置的不同，所得的积分结果形式有可能不同，但实质是等价的；有时被积函数不易看出如何换元，则应先做适当变形。请看下面例子。
例7 计算下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
（5）
解 （1）由于所以

或 原积分

想一想，这两个计算结果是否相同？为什么？
（2）由于

联想到故

（3）将分子、分母同除以，得

设，则于是

（4）由于，所以

（5）
例8 计算下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
分析 这些积分中的被积函数都是三角函数，一般说来，三角函数的积分比较复杂，不易直接看出求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式。
解 （1）观察被积函数知，须先对被积函数作积化和差变形后，再凑微分去求解。

（2）利用公式，将被积函数降次，于是

（3）

（4）由于而
所以
例9 计算下列不定积分
（1）
（2）
（3）
分析 这几个不定积分的被积表达式中都含有类的式子，要用三角代换来求解。各自的代换式是
（1）含：设，则；
（2）含：设，则；
（3）含：设，则；
解
（1）因被积表达式含有，故设，则，

于是
由可知，，所以

（2）为了去掉根式设，则

于是

由得，，所以

（3）为了去掉，设，则

于是

由可知于是

小结 从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于的三角函数式，用还原时，虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但较麻烦，为了直观起见，往往用“三角形法”进行还原计算，如图5-1的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。

例如图5-1（2），设则可设直角三角形角的对边长为，邻边长为，故斜长为，从图中看出。
例10 计算
分析 对于被积函数含有的积分,一般不能做代换，而应将配平方，然后作变量代换，归结为含、的积分后再用第二换元法求解。
解 由于
设，则于是

根据材料上的补充公式（8），再将代回，所以
原积分

对于被积函数含有根式或其它较为特殊的情形，也可以采用第二换元积分法计算。
例11 计算下列不定积分：
（1）
（2）
（3）
解 （1）被积函数是无理函数，又不能凑微分计算，因此选择根式代换，使之有理化。
设，则于是

（2）被积函数是有理多项式，如若展开去计算，将是很麻烦的，不妨设，于是，再考虑到，所以

（3）方法一：设，则，，于是

方法二：凑微分法
由于，所以

小结 利用第二换元积分法计算不定积分时，要特别注意被积函数的特点，针对这些特点，选择适当的代换，常见的第二换元积分法求解的类型请见疑难解析中的有关内容。
例12 计算下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
分析 计算形如的积分时，如果不能用换元积分法求解，则可考虑用分部积分法求解，具体步骤是：
（1）凑微分：从被积函数中选择恰当的部分作为，凑微分，这样积分就变成的形式：
（2）代公式：，并计算出微分；
（3）计算积分
这些积分都不能用换元积分法计算，故考虑用分部积分法，和的选择参见表5-2
解 （1）设故

代入分疗积分公式，有

如果设，会出现什么情形呢？事实上，由

故

显然积分比原积分中的次数更高了，即更难计算了，因此这种选择是不恰当的。
（2）设，则

于是

虽然，还不能直接积分，还须再做一次分部积分，这时设，于是

因此

（3）设，则

于是

（4）设，则

于是

一般说来，如果被积函数是多项式与三角函数或指数函数的乘积时，则选择多项式，而选择三角函数或指数函数；如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数的乘积时，则选择对数函数或反三解函数，而选择多项式。
例13 计算下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）

对第一项用分部积分法求解

故 原积分
（2）被积函数是，从形式上看应选择（否则选择将求不出）即，所以

于是

（3）被积函数含有，应先将降次，然后再计算。

（4）设，则

于是

例14 计算下列不定积分
（1）
（2）
（3）
解 （1）设，，则于是

对于积分，还要用分部积分法计算，此时仍设，于是

因此

移项，两端同除以2，得

计算该题时，注意以下三点：
①第二次分部积分时，选择和一定要和第一次选择的函数类型相同，如都选，都选三角函数，否则第二次积分将与第一次各分相抵销。
②出现循环后，移项整理时，等式右端不要忘记加上积分常数，因为此时右端已没有含积分号的式子了。
③此题也可以设，即

移项并整理，得
（2）

合并同类项，整理后得

显然：当时

当时，反复运用公式（*），可将被积函数的方次降低，最后归结到或的函数关系式，从而得到积分结果。
（3）此积分可用换元各分法（设）计算，在此我们用分部积分法求解
设，则

移项整理有

小结 （1）由于不定积分是微分运算的逆运算，因此计算的难度要比求微分难度更大，事实上，除了少量的简单函数可以直接利用基本积分公式表示出不定积分外，大量的初等函数的原函数并不易按固定程序（如求微分那样）求得。因此求不定积分时需要针对被积函数的特点和类型灵活使用各种积分方法。
（2）基本积分表是求不定积分的根本依据，必须熟练掌握基本积分表及其补充的积分公式。
（3）求积分经常是各种方法同时使用，而某些积分又有多种解法（尽管原函数表示形式不相同，但它们最多仅差一个常数），因此要熟练掌握各种积分方法及其技巧。
下面举例镐头明如何综合运用各种方法计算不定积分。
例15 计算下列不定积分
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解 （1）设，则于是

（2）设，则

移项整理得

（3）方法一：用第二换元积分法
由于
，
设则于是

将代回，因此

方法二：用凑微分法

那么方法一和方法二的结果是否一致呢？检验如下：

所以两种方法计算的结果是相同的。
（4）

（5）则，于是

再设，则
原积分
将即代回，于是

（6）设，则于是

例16 计算下列不定积分
（1）
（2）
（3）
分析 一般来说，有理分式的积分，最终归结为坟有理真分式的积分，从代数理论知，有理真分式，总可以分成下面四种类型的最简分式

之代数和（其中，其中、等值可用待定系数法或对取特殊值的方法。
解 （1）由于

所以

（2）由于分子含有的一次式，分母是的二次式，故可将分子凑成分母的导数，即

（3）
右端通分，比较等式两端分子，得

分别令，，，则有，，，于是

值得注意的是，分式拆成最简分式之和时，应有三项，，，不能只写后两项，而漏掉第一项。
例17 计算下列不定积分
（1）； （2）
解 （1）设则于是

所以

（2）对于被积函数仅含的偶次项的三角函数有理式，采用的变换能使计算简便。
设，则，，因此

对于仅含的偶次项的三角有理式，上述变换依然适用。
小结 （1）对于三角函数有理式可采用“万能”代换使之有理化，其中

于是

成为有理式。
（2）针对具体情况可以设或利用三角恒等式关系来计算，能便计算更为简便。
三、自我检测题
（一）单项选择题
1．是（ ）的一个原函数
A．； B．； C．； D．；
2．（ ）
A．； B．；
C．； D． ；
3．若是的一个原函数，则有（ ）成立。
A．； B．；
C．； D．
4．若则（ ）
A．； B．；
C． D．
5．若的一个原函数的，则（ ）
A．； B．；
C． D．
6．若曲线在点处的切线斜率为，且过点（2，5），则该曲线方程为（　　）
A．； B．；
C．； D．
７．下列凑微分正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
8．下列凑微分正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
9．若则（ ）
A．； B．；
C．； D．
10．下列分部积分中，对和选择正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（ ）
A．； B．；
C．； D．
12．若，则（ ）
A．； B．；
C．； D．
（二）填空题
1．函数的不定积分是
2． ， 。
， 。
3、 ，
4、若函数F（x）与G（x）是同一个连续涵数的原函数，则F（x）与G（x）之间有关系式
，
5、已知则 ，
6、若则 。
7、若且 ，则 ，
8、若则 ，
9、 ，
三、计算题
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
自我检测题答安或提示
（一）1．B； 2．D 3．C； 4．D； 5．D； 6．C； 7．C； 8．A； 9．C；
10．C； 11．D； 12．C。
（二） 1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
（三）1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．

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