新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习.doc
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第六章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类 (1)开方开不尽的数,如等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o等(这类在初三会出现) 判断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如是有理数,而不是无理数。 3、有理数与无理数的区别 (1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数; (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。 考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1)如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 (2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a的立方根。 2、运算名称 (1)求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 (2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 (1)正数a的算术平方根,记作“”。 (2)a(a≥0)的平方根的符号表达为。 (3)一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 (1)若a≥0,则a的平方根是,a的算术平方根;正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。 实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 (2)若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 (3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质 有理数的一些概念,如倒数、相反数、绝对值等,在实数范围内仍然不变。 1、相反数 (1)实数a的相反数是-a;实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零) (2)从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。 2、绝对值 (1)要正确的理解绝对值的几何意义,它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离,数轴分为正负两半,那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。 (2)若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0,零的绝对值是它本身。 (3) 3、倒数 (1)如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。实数a的倒数是1/a(a≠0) (2)倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内,正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 (1)任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0; (2)任何一个实数a的平方是非负数,即≥0; (3)任何非负数的算术平方根是非负数,即 ()。 3、非负数具有以下性质 (1)非负数有最小值零;(2)非负数之和仍是非负数; (3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0. 考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同: (1)正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小; (2)实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大; (3)两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法。 (4)对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围,要想正确估算需记熟0~20之间整数的平方和0~10之间整数的立方. 考点六、实数的运算 (1)在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 (2)有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 (3)实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同,先乘方、开方、再乘除,最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里。 (4)在实数的运算中,当遇到无理数时,并且需要求结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算。 二、典例剖析,综合拓展 知识点1:算术平方根 1.的算术平方根为( ) (A) (B)- (C)± (D)()2 算术平方根的定义: 2. 的算术平方根可表示为 ,即 = 算术平方根的表示方法: (用含a的式子表示) 3. -有算术平方根吗?8的算术平方根是-2吗? 算术平方根具有 性,即⑴被开方数a 0,⑵本身 0,必须同时成立 4、已知的小数部分为,的小数部分为,则 跟踪练习: ① 式子有意义,x的取值范围 ② 已知:y=++3,求xy的值 ,求a+b的值 知识点2:平方根 1. 49的平方根是 ,算术平方根是 ,它的平方根可表示为 ; 2、的平方根是 3、快速地表示并求出下列各式的平方根 ⑴1 ⑵|-5| ⑶0.81 ⑷(-9)2 平方根的定义: 平方根的表示方法 (用含a的式子表示) 平方根的性质: 4、如果一个数的平方根是和,求这个数 5.用平方根定义解方程 ⑴16(x+2)2=81 ⑵4x2-225=0 6、下列说法正确的是( ) A、的平方根是 B、表示6的算术平方根的相反数 C、 任何数都有平方根 D、一定没有平方根 知识点3:立方根 1. -8的立方根是 ,表示为 立方根的表示方法: (用含a的式子表示) 2.说出下列各式表示的意义并求值: ⑴= ⑵-= ⑶= ⑷()3= 3.如果有意义,x的取值范围为 4.用立方根的定义解方程 ⑴x3-27 =0 ⑵2(x+3)3=512 拓展提高: 1、已知,,(1) ;(2) ; (3)0.03的平方根约为 ;(4)若,则 2、已知,,,求(1) ; (2)3000的立方根约为 ;(3),则 知识点4:重要公式 公式一: ∵ = = = = = = ∴ = 有关练习: 1.= = 2.如果=a-3,则a的取值范围是 ; 如果=3-a,则a的取值范围是 3.数a,b在数轴上的位置如图:化简:+|c+a| b a C 0 公式二: ∵()2= ()2= ()2= ∴= (a≥0) 综合公式一和二,可知,当满足a 条件时,= 公式三: ∵ = = = = = = ∴= ; 随堂练习:化简:当1<a<3时, + 公式四: ∵ ()3= ()3= ()3= ∴= 综合公式三和四,可知,当满足a 条件时,= 公式五: = 知识点五:实数定义及分类 无理数的定义: 实数的定义: 实数与 上的点是一一对应的 1、判断下列说法是否正确: (1)实数不是有理数就是无理数。 ( )(2)无限小数都是无理数。 ( ) (3)无理数都是无限小数。 ( )(4)根号的数都是无理数。 ( ) 一、选择题(每题3分,共36分) 1. 下列等式正确的是( ) (A)=-3 (B)=±12 (C)=-2 (D)-=-5 2. 算术平方根等于3的是( ) (A) (B)3 (C)9 (D) 3.下列说法:(1)任何数都有算术平方根;(2)一个数的算术平方根一定是正数;(3)a2的算术平方根是a;(4)(-4)2的算术平方根是-4;(5)算术平方根不可能是负数。其中不正确的有( ) (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个 4. 若一个数的平方根与它的立方根完全相同,则这个数是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1, 0 5. 若=x,则实数x是( ) (A)负实数 (B) 所有正实数 (C)0或1 (D)不存在 6. 若=-a,则实数a在数轴上的对应点,一定在( ) (A)原点左侧 (B)原点右侧 (C)原点或原点左侧 (D)原点或原点右侧 6.在实数0.3,0 ,,,0.123456…中,无理数的个数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 7.下列各式中,无意义的是( ) (A). (B). (C). (D). 8.4、、15三个数的大小关系是( ) (A).4<15< (B)<15<4 (C)4<<15 (D)<4<15 9. 化简的结果是( ) (A).-4 (B).4 (C)±4 (D)无意义 二、填空题(每题3分,共24分) 10. 如果=2,那么(x+3)2=______ 11. 若与|b+2|是互为相反数,则(a-b)2=______. 13.一个正方形的面积扩大为原来的100倍,则其边长扩大为原来的 倍。16. 点A在数轴上和原点相距个单位,点B在数轴上和原点相距3个单位,且点B在点A左边,则AB之间的距离为________ 14. 一个三角形的三边分别是a,b,c,则=________. 15.a是一个两位数的十位数字,b是它的个位数字,则这个数可表示为 . 16.的算术平方根是______,的平方根是______,—8的立方根是_______. 17. 已知│a+2│+4=________. 三、解答题(共60分) 18.计算:(共18分) (1) (2)(-) (3) (4) (5) (6) 19.(8分)①已知,求的平方根. ②已知是的整数部分, 是的小数部分, 求的值. 20.(8分)已知a、b满足,解关于的方程。 - 8 -- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 新人 教版七 年级 下册 数学 第六 实数 知识点 总结 阶梯 练习
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