高二数学19圆锥曲线有关的最值问题培优教案.doc

圆锥曲线有关的最值问题

一.选择题：
1．设F，F为双曲线 (0<≤,b>0)的两个焦点，过F的直线交双曲线同支于A，B两点，如果，则的周长的最大值是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
2．已知连结双曲线与的四个顶点围成的四边形的面积为，连结其四个焦点围成的四边形面积为，则：的最大值是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
3．当时，方程所表示的圆的圆心轨迹是曲线C，则曲线C上的点到原点距离的最小值是（ ）.
（A）2 （B） （C） （D）
4．已知点M（1，1），是椭圆的左焦点，P是椭圆上任一点，则+有最小值，最小值为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
5．如果实数，满足等式，那么的最大值是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
6．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（ ）.
（A） （B） （C）2 （D）
7．若点A的坐标为(3,2),F为抛物线的焦点,点P在该抛物线上移动,为使+取得最小值,点P的坐标应为( )
(A)（0，0） (B)（1，1） (C)（2，2） (D)（，1）
8．在圆上，与直线距离最小的点的坐标是（ ）.
（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
9．设点A，F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，当+取最小值时，点M的坐标是（ ）.
（A）（0，） （B）（0，）
（C）（，） （D）（，）
10．实数x，y满足，则的最小值是（ ）.
（A） （B）
（C）-2 （D）-

二．填空题：
11．若直线将圆平分，则坐标原点到的距离的最大值为___________.
12．抛物线和圆上最近两点之间的距离为__________.
13. 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为，则椭圆方程为_________________________.
14．平面上有两个点A（-1，0），B（1，0），在圆周上取一点P，使+取得最小值，则点P的坐标为________________.
15.过P（3，0）作圆的割线，则最长弦所在直线方程为___________________，最短弦所在直线方程为____________________.
16.定长为4的线段AB的两端点在抛物线上移动，则AB的中点M的纵坐标的最小值为______________.

三．解答题：
17．设一个椭圆的左顶点在抛物线上，长轴长为4，且以y轴为左准线，求椭圆离心率的最大值为________________.
18. 已知直线：，：，其中a≠0，a为常数，k为参数.
（1）求直线与交点的轨迹，说明是什么曲线，如果是二次曲线，试求出其焦点坐标及离心率.
（2）当a>0，y≥1时，求轨迹上的点P（x，y），到点A（0，b）的距离的最小值.
19．已知点A，B，P（2，4）都在抛物线上，且直线PA，PB的倾斜角互补.
（1）证明直线AB的斜率为定值.
（2）当直线AB在y轴上截距大于零时，求的面积的最大值.
20．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：的距离最小的圆的方程.
21．在平面上给定一曲线.
（1） 设点A的坐标为（，0），求曲线上距点A最近的点
P之坐标及相应的距离.
（2）设点A的坐标为（a，0），，求曲线上点到点A距离之最小值d，并写出的函数表达式.
22．已知椭圆（a>b>0）,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标.

点拨与解答
一．选择题：
1．（D）
根据双曲线定义知，=+，=+，
的周长为++=4+2m≤4+2m（当且仅当时，等号成立）.
2．（A）
连结双曲线与的四个顶点围成的四边形为菱形，其面积为，连结四个焦点围成的四边形为正方形，其面积
为，则≤（当且仅当a=b时等号成立）.
3．（D）
设圆的圆心为M（x，y），则，，消去参数，得点M的轨迹C的方程为：，曲线C为椭圆，其短轴顶点（0，）到原点的距离为曲线C上的点到原点距离的最小值,其值为.
4.(B)
椭圆右焦点为,则+=+≥（当且仅当P、M、F三点共线时，等号成立）.
5．（D）
表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆（如图1）.
设，则为直线的斜率，当直线
与圆A相切于B时，取得最大值，
，，
，即为的最大值.
6．（D）
设为椭圆（a>b>c）上的任意一点，为两焦点，则
，
，
当时，取得最大值，

≥（当且仅当时等号成立）.
7．（C）
设点P到准线的距离为（如图2），
则，当A、P、Q三点
共线时，最小，此时点P的纵坐标
为2，解得其横坐标为2，即P（2，2）.
8．（A）
设为圆上一点，其中，P到直线
的距离为，
则.
当时取得最小值.
此时，
点p为（）.
9．（C）
设椭圆的右准线为到的距离
为（如图3）根据椭圆的第二定义知，

∴
∴
当三点共线时，取得最小值，此时的纵坐标为，解得其横坐标为，即
10．（A）
设则

≥
当且仅当时，等号成立
二.填空题：
11．
∵直线将圆平分，
∴直线过圆心（1，-2）
坐标原点到的距离的最大值为原点与圆心的距离
12．
设P为抛物线上任意一点，C（3，0）
为圆心，PC交⊙C于Q点（如图4）
当最小时，最小
（≥0），
当时，
此时取得最小值
13．或
设为椭圆 （的
两个焦点，A为长轴一顶点，B为短轴一顶点
（如图5）.
据题意知，

∴ 解得 ,
, ,
∴所求椭圆方程为,
若椭圆长轴在轴，则所求椭圆方程为.
下面证明为椭圆上点到焦点的最短距离
（如图6）.
设为椭圆上任意一点，则
其中≤≤.
∴≤≤.
即.
14．
设圆的参数方程为

，为圆上任意一点，则
=
≥.
当且仅当时，等号成立.
由，得，
∴，
∴，
，

∴P点坐标为，即.
15．
设圆的圆心为C，则C（4，1）.
，
∴点P在圆内.
∴直线PC截圆所得弦为最长弦，过点P垂直于直线PC的直线截圆所得弦为最短弦.
直线PC：，
直线：.
16．1
抛物线的焦点为F（0，1），准线为设到准线的距离为，则
≥（当且仅当A、B、F三点共线时取等号）.
∴≥2，
∴≥1，即AB中点M的纵坐标的最小值为1.
三．解答题：
17.
设椭圆方程为，则，左准线为，又左准线为，
∴，解得.
∵椭圆的左顶点在抛物线上，
∴≥0，
∴≤，
∴≤.
即椭圆离心率的最大值为.
18．
（1）由 ， 消去参数，得.
，
（ⅰ）当时，方程表示双曲线，其焦点坐标为，离心率为.
（ⅱ）当时，方程表示圆.
（ⅲ）当≠-1时，方程表示椭圆.
当时，焦点坐标为，离心率为,
当a<-1时，焦点坐标为（0，），离心率为.
（2）当>0，≥1时，轨迹为双曲线上半平面一支.
设为轨迹上的任一点，则
≥1，≥0）.
（ⅰ）当≥1，即≥时，

.
（ⅱ）当，即时，
,
.
19
（1）设.
∵点在抛物线上，
∴,解得.
∴抛物线方程为.
设PA方程为，则PB的方程为.
由 , 得，
，
∴，即，
∴，即,同理解得.
∴为定值.
（2）设直线AB方程为，
由 得，
，
, 解得，
，又点P（2，4）
到直线AB的距离，
∴
≤.
当且仅当，即时，取得最大值.
20．首先求满足条件①，②的圆的圆心轨迹方程.
设圆心为，圆半径为，则由条件①，②
得DE=1，为等腰直角三角形（如图7）.
∴ ， 消去参数，得.
，
即为圆心C的轨迹方程.
下面求圆心到直线的距离的最小值.设C（m,n）到l:x-2y=0的距离为d,则,

≥

.
当且仅当时，等号成立，由，且，解得
或 时，取得最小值，此时.

∴所求圆方程为或.
21．
（1）设为曲线上任意一点，则
.
在上单调递增，
∴当时，，曲线上距离A最近的点为（0，0）.
（2）设为曲线上任意一点，则
（≥0）.
当≥0，即≥1时，在时最小，此时，曲线上距A最近的点为）.
当，即<1时，在时最小，此时，曲线上距A最近的点为（0，0）.
，（≥1），
， （.
22．
设所求双曲线方程为.
∵双曲线与椭圆有公共焦点，
∴.
∴.
解 ， 得到.
，
则.
根据椭圆和双曲线的对称性，可知以它们的交点为顶点的四边形是矩形，其面积为
，
≤.
当且仅当，即时，有最大值，此时，.
∴所求双曲线方程为，双曲线与椭圆的四个交点坐标分别为，，，.