等比数列知识点总结和典型例题+答案解析.doc
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WORD文档下载可编辑 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义:,称为公比 2、通项公式: ,首项:;公比: 推广: 3、等比中项: (1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列是等比数列 4、等比数列的前项和公式: (1)当时, (2)当时, (为常数) 5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的,都有为等比数列 (2)等比中项:为等比数列 (3)通项公式:为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若或为等比数列 7、等比数列的性质: (2)对任何,在等比数列中,有。 (3)若,则。特别的,当时,得 注: 等差和等比数列比较: 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ; ; 通项公式 () 中项 () () 前项和 重要 性质 经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式 例1.等比数列中,, ,求. 思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求. 总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零). 举一反三: 【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。 【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。 【变式3】已知等比数列,若,,求。 类型二:等比数列的前n项和公式 例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q. 举一反三: 【变式1】求等比数列的前6项和。 【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5. 【变式3】在等比数列中,,,,求和。 类型三:等比数列的性质 例3. 等比数列中,若,求. 举一反三: 【变式1】正项等比数列中,若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________. 【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。 类型四:等比数列前n项和公式的性质 例4.在等比数列中,已知,,求。 思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。 举一反三: 【变式1】等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=___________. 【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=? 【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n. 【变式4】等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________. 【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。 类型五:等差等比数列的综合应用 例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数. 思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式. 总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。 举一反三: 【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列. 【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。 【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数. 类型六:等比数列的判断与证明 例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列? 思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型. 举一反三: 【变式1】已知数列{Cn},其中Cn=2n+3n,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数p。 【答案】p=2或p=3; 【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q,且p≠q 【变式3】判断正误: (1){an}为等比数列a7=a3a4; (2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列; (3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列; (4){an}是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列; (5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差. 类型七:Sn与an的关系 例7.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an. 总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系. 举一反三: 【变式】命题1:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题2:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个. 经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式 例1.等比数列中,, ,求. 思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求. 解析: 法一:设此数列公比为,则 由(2)得:..........(3) ∴. 由(1)得: , ∴ ......(4) (3)÷(4)得:, ∴,解得或 当时,,; 当时,,. 法二:∵,又, ∴、为方程的两实数根, ∴ 或 ∵, ∴或. 总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零). 举一反三: 【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。 【答案】±96 法一:设公比为q,则768=a1q8,q8=256,∴q=±2,∴a6=±96; 法二:a52=a1a9a5=±48q=±2,∴a6=±96。 【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。 【答案】64; ∵,又an>0,∴a45=4 ∴。 【变式3】已知等比数列,若,,求。 【答案】或; 法一:∵,∴,∴ 从而解之得,或, 当时,;当时,。 故或。 法二:由等比数列的定义知, 代入已知得 将代入(1)得, 解得或 由(2)得或 ,以下同方法一。 类型二:等比数列的前n项和公式 例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q. 解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1. 由得,, 整理得q3(2q6-q3-1)=0, 由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0, 因q3≠1,故,所以。 举一反三: 【变式1】求等比数列的前6项和。 【答案】; ∵,, ∴。 【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5. 【答案】; ∵,,则a1=1或a1=9 ∴. 【变式3】在等比数列中,,,,求和。 【答案】或2,; ∵,∴ 解方程组,得 或 ①将代入,得, 由,解得; ②将代入,得, 由,解得。 ∴或2,。 类型三:等比数列的性质 例3. 等比数列中,若,求. 解析: ∵是等比数列,∴ ∴ 举一反三: 【变式1】正项等比数列中,若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________. 【答案】100; ∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100) 而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51 ∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。 【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。 【答案】216; 法一:设这个等比数列为,其公比为, ∵,,∴, ∴。 法二:设这个等比数列为,公比为,则,, 加入的三项分别为,,, 由题意,,也成等比数列,∴,故, ∴。 类型四:等比数列前n项和公式的性质 例4.在等比数列中,已知,,求。 思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。 解析: 法一:令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n 观察b1=a1+a2+……+an, b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an), b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an) 易知b1,b2,b3成等比数列,∴, ∴S3n=b3+S2n=3+60=63. 法二:∵,∴, 由已知得 ②÷①得,即 ③ ③代入①得, ∴。 法三:∵为等比数列,∴,,也成等比数列, ∴, ∴。 举一反三: 【变式1】等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=___________. 【答案】17; S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17 【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=? 【答案】130; 法一:S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20) 即302=10(S30-40),∴S30=130. 法二:∵2S10≠S20,∴, ∵,, ∴∴,∴ ∴ . 【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n. 【答案】∵ ,∴(否则) ∴=80 ........(1) =6560.........(2), (2)÷(1)得:1+qn=82,∴qn=81......(3) ∵该数列各项为正数,∴由(3)知q>1 ∴{an}为递增数列,∴an为最大项54. ∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q, ∴81a1=54q..........(4) ∴代入(1)得, ∴q=3,∴n=4. 【变式4】等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________. 【答案】4; 令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知:b1, b2, b3成等比数列,∴b3===4,即a5+a6=4. 【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。 【答案】448; ∵{an}是等比数列,∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8, ∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448. 类型五:等差等比数列的综合应用 例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数. 思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式. 解析: 法一:设成等差数列的三数为a-d, a,a+d. 则a-d, a, a+d+32成等比数列,a-d, a-4, a+d成等比数列. ∴ 由(2)得a=...........(3) 由(1)得32a=d2+32d ..........(4) (3)代(4)消a,解得或d=8. ∴当时,;当d=8时,a=10 ∴原来三个数为,,或2,10,50. 法二:设原来三个数为a, aq, aq2,则a, aq,aq2-32成等差数列,a, aq-4, aq2-32成等比数列 ∴ 由(2)得,代入(1)解得q=5或q=13 当q=5时a=2;当q=13时. ∴原来三个数为2,10,50或,,. 总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。 举一反三: 【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列. 【答案】为2,6,18或; 设所求的等比数列为a,aq,aq2; 则 2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32); 解得a=2,q=3或,q=-5; 故所求的等比数列为2,6,18或. 【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。 【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1 设这三个数分别为, 由已知得 得,所以或, 即或 故所求三个数为:1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。 【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数. 【答案】0,4,8,16或15,9,3,1; 设四个数分别是x,y,12-y,16-x ∴ 由(1)得x=3y-12,代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12) ∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0, ∴y2-13y+36=0, ∴ y=4或9, ∴ x=0或15, ∴四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 类型六:等比数列的判断与证明 例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列? 思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型. 解析:∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+), ∴a1=S1=51-1=4, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1 而n=1时,4×5n-1=4×51-1=4=a1, ∴n∈N+时,an=4×5n-1 由上述通项公式,可知{an}为首项为4,公比为5的等比数列. 举一反三: 【变式1】已知数列{Cn},其中Cn=2n+3n,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数p。 【答案】p=2或p=3; ∵{Cn+1-pCn}是等比数列, ∴对任意n∈N且n≥2,有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1) ∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)] 即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1] 整理得:,解得:p=2或p=3, 显然Cn+1-pCn≠0,故p=2或p=3为所求. 【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列. 【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q,且p≠q 为证{Cn}不是等比数列,只需证. ∵, ∴, 又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0, ∴即 ∴数列{Cn}不是等比数列. 【变式3】判断正误: (1){an}为等比数列a7=a3a4; (2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列; (3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列; (4){an}是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列; (5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差. 【答案】 (1)错;a7=a1q6,a3a4=a1q2·a1q3=a12q5,等比数列的下标和性质要求项数相同; (2)错;反例:02=0×0,不能说0,0,0成等比; (3)对;{anbn}首项为a1b1,公比为q1q2; (4)对;; (5)错;反例:-2,-4,-8成等比,但logm(-2)无意义. 类型七:Sn与an的关系 例7.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an. 解析:∵, ① ∴,解之得a1=2或a1=3. 又, ② 由①-②得,即 ∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列 ∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15, ∴a1=2,∴an=5n-3. 总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系. 举一反三: 【变式】命题1:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题2:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个. 【答案】0; 由命题1得,a1=a+b,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1. 若{an}是等比数列,则,即, 所以只有当b=-1且a≠0时,此数列才是等比数列. 由命题2得,a1=a-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a-1, 显然{an}是一个常数列,即公差为0的等差数列, 因此只有当a-1≠0,即a≠1时数列{an}才又是等比数列. 欢迎您的光临,Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢!你的意见是我进步的动力,希望您提出您宝贵的意见!让我们共同学习共同进步!学无止境.更上一层楼。 专业技术资料 精心打造资料- 配套讲稿:
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