2017届九年级数学下册章节知识点专题训练6.doc

第1章过关自测卷
（100分，90分钟）
一、 选择题（每题3分，共30分）
1.下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2012，德阳，一题多解）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿x 轴方向向右平移2个单位后再沿y轴向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是（ ）
A.（－1，1） B.（1，－2） C.（2，－2） D.（1，－1）
3.（2012，滨州）抛物线与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
4.（2012，桂林）如图1，把抛物线沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的点A处，则平移后的抛物线表达式是（ ）
A. B. C. D.

图1
5.设二次函数，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3
6.（2013，菏泽）已知b＜0,二次函数的图象为如图2所示的四个图象之一.试根据图象分析，a的值应等于（ ）

图2
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.（2013，内江）若抛物线与y轴的交点坐标为(0，-3)，则下列说法不正确的是（ ）
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1
C.当x=1时,y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）,(3,0)
8.（2013，日照）如图3，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为、,若≠取,中的较小值记为M;若=，记M==.下列判断：①当x＞2时，M=;②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x=1.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C．3个 D.4个

图3 图4
9.(2012，河北，图象信息题)如图4，抛物线与交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，；④2AB＝3AC.其中正确结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D．①④

10.(2013，潍坊)用固定的速度向如图5所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里
水面的高度和注水时间的关系的大致图象是图6中的（ ）

二、填空题（每题3分，共18分）
11.将二次函数化为的形式,则y= .
12.如图7所示，有一块长为100 m，宽为80 m的矩形空地，欲在中间修筑两条互相垂直且宽为x m的小路，其余种植草坪.若草坪面积为y m2，则y与x之间的函数表达式是
13.(直接代入法，整体思想)已知抛物线与x轴一个交点的横坐标是-1，那么a+c= .

图7 图8
14. （方程思想）如图8所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点.则该抛物线的表达式是 ，△MCB的面积是 .
15.（开放题）有一个二次函数图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴交点的横坐标是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为12.请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：.
16.(待定系数法)如图9，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB为20 m，顶点M距水面6 m（即MO=6 m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5 m）.当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF是 .

图9

三、解答题(17，18题每题4分，19题5分，23题12分，其余每题9分，共52分)
17.（2012，杭州）当k分别取-1，1，2时，函数都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由.若有，请求出最大值.

18.二次函数与的图象是由函数的图象通过怎样平移得到的？这两个函数图象之间是怎样通过平移得到的？

19.如图10，已知二次函数的图象经过A（-1，-1），B（0，2），
C（1，3）.
（1） 求二次函数的表达式；

图10

（2）画出二次函数的图象.

20.（2012，连云港）如图11，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；

图11

（2） 求△ABD的面积；

（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由.

21.已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），顶点
为P.
（1）求A，B，P三点的坐标；

（2）在如图12所示的直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线，并根据图象写出当x取何值时，函数值大于零；

图12
x

y

（3）将此抛物线向下平移一个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式.

22.2012年上半年，某种农产品受炒作的不良影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/kg与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/kg与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这4个月的月平均价格分别为8元/kg、26元/kg、14元/kg和11元/kg.
（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数表达式；

（3） 在2012年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？

（3）若以12个月的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？

23.（2012，威海，数形结合思想，反证法）如图13，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B(2，1)，且过点A（0，2）.直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧).抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G.EF⊥x轴，垂足为点F.点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形.
(1)求该抛物线的表达式；

图13
(2)求点P的坐标；

(3)试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

(4)连结PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案及点拨
一、1.D
2.B 点拨：方法一：∵，∴将原抛物线两次平移后的新抛物线的表达式为，即.∴新抛物线的顶点坐标为（1，-2）.方法二：∵将原抛物线两次平移后的新抛物线的表达式为，从而其顶点坐标是（1，-2）.∴选B.
3.A 点拨：抛物线与y轴总有1个交点，由于（-1）2-4×（-3）×4=49>0,因此抛物线与x轴有2个交点，于是抛物线与坐标轴有3个交点.故选A.
4.C 点拨：把抛物线沿直线平移个单位，即是将抛物线向上平移一个单位后，再向右平移一个单位，然后根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的表达式为，故选C.
5.B 点拨：由题意可知抛物线必过点（1，0），故1+b+c＝0，从而b＝-1-c.∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴32+3（-1-c）+c≤0，即2c≥6，解得c≥3，故选B.
6.C 7.C
8.B 点拨：当x＞2时,y2＞y1，故M=y1，①错误；当x＜0时,y2＞y1,故M=y1,当x＜0时,y1随x的增大而增大，故②正确；由图象可知M的最大值为4，故③正确；当0＜x＜2时，M=y2，若M=2,则有2x=2,解得x=1,当x＞2时,M=y1,若M=2,则有,解得x1=2+,x2=2-（舍去），故④错误.
9.D 点拨：考查了二次函数的表达式的确定，解题的关键是正确从图象中获取相关信息，并结合问题条件进行解题.由图象可以知道的图象全部在x轴上方，所以无论x取何值，y2的值总是正数.因为抛物线过点A（1，3），所以，所以，即.当x＝0时，，，则.当y＝3时，，解得x1＝﹣5，x2＝1，即A（1，3），B（-5，3），则AB＝6；当y＝3时，，解得x1＝5，x2＝1，即A（1，3），C（5，3），则AC＝4.所以2AB＝3AC.因此，其中正确的是①④.
10.C
二、11.（x-2）2+1
12.y=x2-180x+8 000点拨：求小路面积时，易犯交叉部分重复计算的错误.
13.1 点拨：用直接代入法和整体思想求解.由题意知抛物线与x轴一个交点的坐标为（-1，0），代入函数表达式得0=a×（-1）2+（-1）+c，得a+c=1.
14.y=-x2+4x+5;15 点拨：用方程思想求解.（1）分别把点A（-1，0），C（0，5），D（1，8）的坐标代入y=ax2+bx+c中，得到关于a，b，c的方程组，解出这三个未知数的值，即可求得抛物线的表达式.（2）过点M作MN⊥AB于点N，于是得S△MCB=S梯形OCMN+S△MNB-
S△OBC.
15.y=12x2-4x+6 点拨：本题是开放性问题，答案不唯一.
16.10 m 点拨：用待定系数法求解.根据题目的特点，设大孔所在抛物线的表达式为y=ax2+6，求得a=-0.06.因为点F纵坐标为4.5，所以求得DF=5 m，则EF=10 m.
三、17.解：k＝-1，函数有最大值.当k＝-1时，函数为y＝-2x2-4x+6，配方，得y＝-2（x+1）2+8.∵二次项系数-2＜0，∴函数有最大值.当x＝-1时，y的最大值为8.当k＝1时，函数为y＝-4x+4，是一次函数，无最值.当k＝2时，函数为y＝x2-4x+3.∵二次项系数1＞0，∴二次函数图象开口向上，无最大值.
18.解：把y=2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2（x+2）2-1的图象.把y=2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得y=2（x-1）2+2的图象.把y=2（x+2）2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到y=2（x-1）2+2的图象.把y=2（x-1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到y=2（x+2）2-1的图象.点拨：根据二次函数图象平移的规律确定平移的方向和距离，同学们可以在同一坐标系中作出这几个函数的图象，进一步结合图形对比思考.
19.解：（1）根据题意， 得a-b+c=-1,c=2,答图1，解得a=-1,b=2,
c=2.所以二次函数的表达式 为y=-x2+2x+2.
（2）二次函数的图象如答图1所示.
点拨：把A，B，C三点的坐标代入二次函数的表达式求出a，b，c的值即可.
20.解：(1)依题意知，C点坐标为（0,3）,E点坐标为（2，3），代入y=-x2+bx+c中，得c=3，
-4+2b+c=3，解得b=2，
c=3.故抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3.（2）连结AD、BD.由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（1,4），令y=0，则-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.∴AB=3-（-1）=4,△ABD的面积为12×4×4=8.（3）不在.连结AC.当△AOC绕点C逆时针旋转90°时，CO落在CE所在的直线上，又OA=1,则点A的对应点G的坐标为（3，2）.又x=3时，y=-32+2×3+3=0≠2,∴点G不在该抛物线上.

答图1 答图2
21.解：（1）令y=-x2+4x-3=0,∴x1=1,x2=3.∴A，B两点坐标分别为（1，0），（3，0）.∵y=-x2+4x-3=-（x2-4x+4）+4-3=-（x-2）2+1,
∴P点坐标为（2，1）.

（2）列表
x
-1
0
1
2
3
4
5
y
-8
-3
0
1
0
-3
-8

描点作出抛物线（如答图2）.
由图象可以看出当1<x<3时，图象在x轴上方，函数值大于零.
（3）由图象可以看出抛物线y=-（x-2）2+1向下平移一个单位得抛物线y=-（x-2）2+1-1=-（x-2）2=-x2+4x-4.
22.解：（1）当1≤x≤7时，设y=kx+m.将（1，8），（7，26）分别代入y=kx+m，得k+m=8,7k+m=26. 解得m=5,k=3. ∴函数表达式为y=3x+5.当7≤x≤12时，设y=ax2+bx+c.将（7，26），（9，14），（12，11）分别代入y=ax2+bx+c，得：49a+7b+c=26,81a+9b+c=14,
144a+12b+c=11. 解得a=1,b=-22,c=131. ∴函数表达式为y=x2-22x+131.（2）当1≤x≤7时，函数y=3x+5，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y最小值=3×1+5=8.当7≤x≤12时，y=x2-22x+131=（x-11）2+10≥10.∴当x=1时，y最小值=8.∴该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/kg.（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴当x=4时的月平均价格17元/kg是前7个月的平均价格.将x=8，x=10和x=11分别代入y=x2-22x+131，得y=19，y=11和y=10.∴后5个月的月平均价格分别为19元/kg，14元/kg，11元/kg，10元/kg，11元/kg.∴年平均价格为=≈15.3（元/kg）.当x=3时，y=14<15.3，x=4时，y=17＞15.3,∴4，5，6，7，8这5个月的月平均价格高于年平均价格.
23.解：（1）由题意得抛物线的表达式为y=a（x-2）2+1,将点A（0，2）的坐标代入，得a（0-2）2+1=2.解这个方程，得a=14.∴抛物线的表达式为y=14（x-2）2+1，即y=14x2-x+2.
（2）将x=2代入y=x,得y=2.∴点C的坐标为（2，2），即CG=2.∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=60°,CM=PM.∵PM⊥x轴，∴∠CMG=30°.∴CM=4，GM=23.∴OM=2+23,PM=4.∴点P的坐标为（2+23，4）.
（3）相等.把y=x代入y=14x2-x+2,得x=14x2-x+2.解这个方程，得x1=4+2,x2=4-2＜2（不合题意，舍去）.∴y=4+2=EF.∴点E的坐标为（4+2,4+2）.∴OE= =4+4.又∵OC= =，∴CE=4+4-=4+.∴CE=EF.
答图3（4）不存在.假设x轴上存在满足条件的一点N，如答图3，使△CMN≌△CPE,则CN=CE,∠MCN=∠PCE.∵∠MCP=60°，∴∠NCE=60°.∴△CNE为等边三角形.∴EN=CE, ∠CEN=60°.又∵CE=EF,∴EN=EF.∵点E为直线y=x上的点，∴∠CEF=45°.∴点N与点F不重合.∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存 在 .
答图3
点拨：本题考查了二次函数图象的性质，等边三角形的判定与性质，直线与抛物线的综合运用，运用数形结合思想是解答本题的关键.已知二次函数图象的顶点坐标，可以运用顶点 式求二次函数的表达式.求一个点的坐标可以综合运用直角三角形和等边三角形的性质.判断线段是否相等，可以先求出各自的长度，再进行比较.判断点的存在性问题，可以运用反证法.

18