现代数值计算方法公式总结.doc
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1、现代数值计算方法公式一、 插值法1.拉格朗日(Lagrange)插值法a)两点一次:L1x=x-x1x0-x1y0+x-x0x1-x0y1R1x=fx-L1x=f2!(x-x0)(x-x1) (x0x1)b)三点二次:L2x=x-x1x-x2x0-x1x0-x2y0+x-x0x-x2x1-x0x1-x2y1+x-x0x-x1x2-x0x2-x1y2R2x=fx-L2x=f33!(x-x0)(x-x1)(x-x2) (x0x2)2.牛顿(Newton)插值a)n次牛顿法多项式:Nnx=fx0+fx0,x1x-x0+fx0,x1,xnx-x0(x-xn-1)Rnx=fx-Nnx=fn+1n+1!n
2、+1x (x0xn)其中n+1x=x-x0x-x1(x-xn-1)XKF(XK)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商X0f(x0)fx0,x1fx1,x2fx2,x3fx3,x4fx0,x1,x2,x3fx1,x2,x3,x4X1f(x1)fx0,x1,x2X2f(x2)fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3,x4X3f(x3)fx2,x3,x4X4f(x4)fx0,x1=fx1-fx0x1-x0fx0,x1,x2=fx1,x2-fx0,x1x2-x0b)向前差分:Nnx0+th=y0+ty0+tt-1t-2(t-n+1)n!ny0Rnx0+th=tt-1t-2t-nn+1!hn+1fn+1
3、(x0xn)XKYKYI2YI3YI4YIX0y0y0y1y2y33y03y1X1y12y0X2y22y14y0X3y32y2X4y4yi=YI+1-YI2yi=YI+1-YI下减上c)向后差分:Nnxn+th=yn+tyn+tt+1(t+n-1)n!nynRnxn+th=tt+1t+2t+nn+1!hn+1fn+1 (x0xn)XKYKYI2YI3YI4YIX4y4y4y3y2y13y43y3X3y32y4X2y22y34y4X1y12y2X0y0yi=yi-yi-12yi=yi-yi-1上减下3.三次埃米尔特(Hermite)插值XX0X1YY0Y0YM0M1H3X=A0XY0+A1XY1
4、+0XM0+1(X)M1A0X=(1+2X-X0X1-X0)(X-X1X0-X1)2A1X=(1+2X-X1X0-X1)(X-X0X1-X0)20X=(X-X0)(X-X1X0-X1)21X=(X-X1)(X-X0X1-X0)2R3X=F44!(X-X0)2(X-X1)2 (x0x1)二、 拟合曲线(最小二乘)x=a0+a1x+a2x2Sa0,a1,a2=i=1nxi-yi2=i=1n(a0+a1xi+a2xi2)-yi2Sa0=0Sa1=0Sa2=0三、 数值积分1. 牛顿-柯特思(Newton-Cotes)公式梯形求积公式(2节点)IT1=b-a2fa-f(b)RT1=-b-a312f()
5、复化梯形求积公式Ih2fa+2k=1n-1fxk+f(b)TnRTn=-b-a12fh2=O(h2)辛普生求积公式(3节点)IS1=b-a6fa+4fa+b2+fbRS1=-b-a52880f4()复化辛普生求积公式Ih6fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1fxk+f(b)RSn=-b-a2880h4f4=O(h4)2. 高斯(Gauss)公式高斯-勒让德求积公式1. 先用勒让德公式求解xiLnx=12nn!dndxn(x2-1)n2. 利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将xi带入求Ai3. 将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。-11fxi=0nAifxiRnf=22
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