步步高大一轮复习讲义高三数学5.1平面向量的概念及线性运算.doc

§5.1　平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称____)
平面向量是自由向量
零向量
长度为____的向量；其方向是任意的
记作____
单位向量
长度等于________的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向____或____的非零向量
0与任一向量____或共线
共线向量
______________的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度____且方向____的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度____且方向____的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：
a＋b＝________.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝__________.
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

______法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝________；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝____
λ(μa)＝____；
(λ＋μ)a＝_____；
λ(a＋b)＝______
3.共线向量定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
[难点正本　疑点清源]
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

1．(课本改编题)化简－＋－的结果为________．
2．在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____________.
3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是________．
4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　)
　 A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝

题型一　平面向量的概念辨析
例1　给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
探究提高　(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．
(5)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量．
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(8)任一向量与它的相反向量不相等．
题型二　向量的线性运算
例2　如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，
G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，
b表示，.
探究提高　(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
　如图，在△ABC中，E、F分别为AC、AB的
中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，
b表示.
题型三　平面向量的共线问题
例3　设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
探究提高　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．
如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，
在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得
NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．

11.用方程思想解决平面向量的线
性运算问题
试题：(13分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，
AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
审题视角　(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.
(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解．
规范解答
解　设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b. [3分]
又∵A、M、D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，
即(m－1)a＋nb＝t. [5分]
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
∴，消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1. ①[7分]
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C、M、B三点共线，∴与共线． [10分]
∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，
∴，消去t1得，4m＋n＝1. ②[12分]
由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b. [13分]
批阅笔记　(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

方法与技巧
1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD；若∥，则A、B、C三点共线．
失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
课时规范训练
(时间：60分钟)
A组　专项基础训练题组
一、选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 (　　)
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b (k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 (　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
二、填空题
4．设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．
5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋
，则实数m的值为________．
三、解答题
7. 如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝，＝，
用a、b表示、、.
8．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
B组　专项能力提升题组
一、选择题
1．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
2．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋
λ ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 (　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、填空题
4．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．
①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；
③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；
④若四边形ABCD是梯形，则与共线．
5. 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交
直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则
m＋n的值为______．
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，
则λ＝________.
7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．
三、解答题
8．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
答案
要点梳理
1．大小　方向　长度　模　零　0　1个单位　相同　相反　方向相同或相反　平行　相等　相同　相等　相反
2．三角形　平行四边形　(1)b＋a　(2)a＋(b＋c)　三角形　(1)|λ||a|　(2)相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb
基础自测
1.　2.b－a　3.①②③　4.－2　5.A
题型分类·深度剖析
例1　②③
变式训练1　解　(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小．(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关．(3)正确．(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行．(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的．(6)不正确，因为与共线，而AB与CD可以不共线即AB∥CD.(7)正确．(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等．
例2　解　＝(＋)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
变式训练2　解　＝＋
＝＋λ＝＋(＋)
＝＋(－)
＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.
又＝＋＝＋m
＝＋(＋)
＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，
∴，解得λ＝m＝，
∴＝a＋b.
例3　(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴、共线，又∵它们有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
变式训练3　
课时规范训练
A组
1．C　2.B　3.D　4.－1　5.
6.
7.＝a＋b，＝a＋b，＝a－b
8．解　设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A、B、C三点共线，只需＝λ.
即－a＋b＝λtb－λa.
∴有⇒
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．
B组
1．B　2．B　3．B　
4．①② 5．2 6.
7．±2
8．(1)解　∵＋＝2，
又2＝－，
∴＋＋＝－＋＝0.
(2)证明　显然＝(a＋b)．
因为G是△ABO的重心，
所以＝＝(a＋b)．
由P、G、Q三点共线，得∥，
所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝(a＋b)－ma
＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)
＝－a＋b，
所以a＋b
＝λ.
又因为a、b不共线，
所以，消去λ，
整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.