步步高大一轮复习讲义高三数学5.1平面向量的概念及线性运算.doc
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1、5.1平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有_又有_的量;向量的大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量;其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向_或_的非零向量0与任一向量_或共线共线向量_的非零向量又叫做共线向量相等向量长度_且方向_的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度_且方向_的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:ab_.(2)结合律:(ab)c_.减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差_法则aba(b)数
2、乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|_;(2)当0时,a的方向与a的方向_;当|b|,则ab;(2)若|a|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;(3)若|a|b|,且a与b方向相同,则ab;(4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;(5)若向量a与向量b平行,则向量a与b的方向相同或相反;(6)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上;(7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二向量的线性运算例2如图,在ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB2GE,设a,b,试用a,b表示,.
3、探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果如图,在ABC中,E、F分别为AC、AB的中点,BE与CF相交于G点,设a,b,试用a,b表示.题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线,(1)若ab,2a8b,3(ab),求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使kab和akb共线探究提高(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量
4、共线且有公共点时,才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a2b0成立,若1a2b0,当且仅当120时成立,则向量a、b不共线 如图所示,ABC中,在AC上取一点N,使得ANAC,在AB上取一点M,使得AMAB,在BN的延长线上取点P,使得NPBN,在CM的延长线上取点Q,使得时,试确定的值11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题:(13分)如图所示,在ABO中,AD与BC相交于点M,设a,b.试用a和b表示向量.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用a、b表示,那我们不妨设出m
5、anb.(3)利用共线定理建立方程,用方程的思想求解规范解答解设manb,则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线,与共线存在实数t,使得t,即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.,消去t得,m12n,即m2n1.7分又manbaanb,baab.又C、M、B三点共线,与共线10分存在实数t1,使得t1,anbt1,消去t1得,4mn1.12分由得m,n,ab.13分批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度(2)学生的易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量
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