平面向量的数量积及应用(含答案).doc

平面向量的数量积及应用
[基础知识]
1．向量数量积的定义：
(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b，作 ＝a、＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定其范围是 当〈a，b〉＝ 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．
(3)向量数量积的定义： ．
(4)向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ ；②a⊥b⇔ ；③a·a＝|a|2
或|a|＝ ；④cos〈a，b〉＝ ；⑤|a·b| |a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律a·b＝ ；(2)分配律(a＋b)·c＝ (3)数乘向量结合律λ(a·b)＝ .
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ ；
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔ ；
(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝ ，cos〈a，b〉＝ .
(4)若则，
4．向量的应用
(1)向量在平面几何中的应用
平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 表现出来，用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．
(2)向量在解析几何中的应用
设直线l的倾斜角为，斜率为k，向量a＝(a1，a2)且平行于直线l，则a称为直线l的 ，可以根据向量的知识得到向量(1，k)与向量a共线，因此(1，k)也是直线l的方向向量．
(3)向量在物理中的应用
向量在力的分解与合成中的应用．由于力是向量，它的分解与合成与向量的 相类似，可以用向量来解决．
[基础练习]
1．(2009·全国Ⅰ，6)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B.－2 C．－1 D．1－
2．若向量a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，则x的值为(　　)
A．3 B．－1或3 C．－1 D．－3或1
3．若非零向量a、b满足|a－b|＝|b|，则(　　)
A．|2b|＞|a－2b| B．|2b|＜|a－2b| C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b|
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
5．设a＝(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为(　　)
A．(2,14) B．(2，－) C．(－2，) D．(2,8)
[典型例题]
题型一　平面向量数量积的运算
例1　(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.

练1(1)(2010·广东卷，文)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6　　　　　 　B．5 C．4 D．3
（2）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.①求a与b的夹角θ；②求|a＋b|；③若＝a，＝b，求△ABC的面积．

题型二　向量的夹角、模、垂直问题
【例2】　(2009·宁夏、海南卷)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC是 (　　)
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心

练2　在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ等于(　　)
A. B. C. D.

例3若a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)且|ka＋b|＝|a－kb|，k >0，k∈R.
(1)试用k表示a·b；(2)求实数k的取值范围；(3)求a·b的最大值、最小值，并求出取得最值时a与b的夹角θ的大小．

练3.已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－<θ<.(1)若a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．

题型三　平面向量的应用
例4已知△OFQ的面积为S且·＝1.(1)若<S<2，求向量与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设||＝c(c≥2)，S＝c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆方程.

练4　如右图，在水平杆子AB上用两根垂直的绳子吊10 kg的物体W，∠ACW＝150°，
∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(忽略绳子重量)

平面向量的数量积及应用活页作业
一、选择题
1．已知a，b，a＋b，a－b均为非零向量，则(a＋b)·(a－b)＝0是|a|＝|b|的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知A(1,2)、B(3,4)、C(－2,2)、D(－3,5)，则向量在向量上的投影为（ ）
A.　　　　　B．－ C. D．－
3．设向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a·b＝0，|a|＝3，|c|＝4，则|b|＝（ ）
A．5 B. C. D．7
4．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，该平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)．下列说法正确的是
A．∀P(x，y)满足||＝1，则x2＋y2＝1 B．∀P(x，y)满足x2＋y2＝1，则||≠1
C．∃P0(x0，y0)满足x＋y＝1，使得||＝1 D．以上说法都不正确
5．(2009·辽宁高考)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝（ ）
A. B．2 C．4 D．12
6．设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在△ABC中，有如下命题，其中正确的是(　　)
①－＝　②＋＋＝0　③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形　④若·>0，则△ABC为锐角三角形（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
8．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为(　　)
A．－4＋ B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2
二、填空题
9．(2008·江西高考)如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：
A.＋＝2； B.＝2＋2；
C.·＝·； D．(·)＝(·)．
其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)
10．已知点H为△ABC的垂心，且·＝－3，则·的值为________．
11．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
12．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
三、解答题
13．已知＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．已知a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，c＝(0,3)，－<θ<.(1)若(4a－c)∥b，求θ；(2)求|a＋b|的取值范围．

15．如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S. (1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；
(2)设点B的坐标为(－，)，∠AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．

16．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ>0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算·的值；(3)求证：|FM|2＝|FA|·|FB|.

平面向量的数量积及应用答案
[基础知识]
1．向量数量积的定义：
(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b，作 ＝a、＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定其范围是 当〈a，b〉＝ 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．
(3)向量数量积的定义： ．
(4)向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ ；②a⊥b⇔ ；③a·a＝|a|2
或|a|＝ ；④cos〈a，b〉＝ ；⑤|a·b| |a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律a·b＝ ；(2)分配律(a＋b)·c＝ (3)数乘向量结合律λ(a·b)＝ .
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ ；
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔ ；
(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝ ，cos〈a，b〉＝ .
(4)若则，
4．向量的应用
(1)向量在平面几何中的应用
平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 表现出来，用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．
(2)向量在解析几何中的应用
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)且平行于直线l，则a称为直线l的 ，可以根据向量的知识得到向量(1，k)与向量a共线，因此(1，k)也是直线l的方向向量．
(3)向量在物理中的应用
向量在力的分解与合成中的应用．由于力是向量，它的分解与合成与向量的 相类似，可以用向量来解决．
[基础练习]
1．(2009·全国Ⅰ，6)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B.－2 C．－1 D．1－
解析：　不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)
则易得(a－c)·(b－c)＝1－sin(θ＋)
故得其最小值为1－.
答案：　D
2．若向量a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，则x的值为(　　)
A．3 B．－1或3 C．－1 D．－3或1
答案：B
3．若非零向量a、b满足|a－b|＝|b|，则(　　)
A．|2b|＞|a－2b| B．|2b|＜|a－2b| C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b|
答案：A
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
解析：2＝16，||＝4，
又|＋|＝|－|，两边平行整理得：
·＝0，∴△ABC为直角三角形．
又M为BC的中点，
∴||＝||＝2，故选C.
答案：　C
5．设a＝(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为(　　)
A．(2,14) B．(2，－) C．(－2，) D．(2,8)
答案：　B
[典型例题]
题型一　平面向量数量积的运算
例1　(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.
解析：　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10；
若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.
③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×＝5.
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：由于四边形ABCD为平行四边形，设O为AC与BD的交点，连结O点与DC的中点E，则＝2＝2＝(＋)＝(－1,2)，所以·＝－1＋2×2＝3.
答案：　3
练1(1)(2010·广东卷，文)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6　　　　　 　B．5 C．4 D．3
解析：　由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，
∴18＋3x＝30⇒x＝4.
答案：　C
（2）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.①求a与b的夹角θ；②求|a＋b|；③若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解析：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b＝＝＝＝.
(3)∵与的夹角θ＝.∴∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3
题型二　向量的夹角、模、垂直问题
【例2】　(2009·宁夏、海南卷)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC是 (　　)
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：由||＝||＝||，可知点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是△ABC的外心．设BC的中点为M，由＋＋＝0，得＋2＝0，所以点N是△ABC的重心．由·＝·，得·(－)＝·＝0，所以⊥，同理，⊥、⊥，所以点P是△ABC的垂心．故选C.
答案：C
练2　在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ等于(　　)
A. B. C. D.
解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)a＋λb，
又∵OD是AB边上的高，∴·＝0即·(－)＝0，∴[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0，整理可得λ(b－a)2＝a·(a－b)，即得λ＝，故选B.
答案：B
例3若a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)且|ka＋b|＝|a－kb|，k>0，k∈R.
(1)试用k表示a·b；(2)求实数k的取值范围；(3)求a·b的最大值、最小值，并求出取得最值时a与b的夹角θ的大小．
解析：(1)∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，且|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝.
(2)∵|a|＝|b|＝1，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|＝1，
∴≤1.又k>0，∴k2－4k＋1≤0，∴2－≤k≤2＋.
(3)∵a·b＝＝(k＋)≥，当且仅当k＝1时，(a·b)min＝，此时cosθ＝＝.∴θ＝60°.
当且仅当k＝2±时，(a·b)max＝1，θ＝0°.
练3.已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－<θ<.(1)若a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．
解析：（1）
(2)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得a＋b＝(sinθ＋1,1＋cosθ)，
|a＋b|＝
＝＝，
当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1.
题型三　平面向量的应用
例4已知△OFQ的面积为S且·＝1.(1)若<S<2，求向量与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设||＝c(c≥2)，S＝c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆方程.
解析：(1)由已知得∴tanθ＝2S.由<S<2，故1<tanθ<4.
(2)以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，又设点Q的坐标为(x0，y0)，则＝(x0－c，y0)．
∵S△OFQ＝||·|y0|＝|y0|＝c，∴|y0|＝.又∵·＝1，
∴(c,0)·(x0－c，y0)＝1，解得x0＝c＋.∴||＝＝.
∵当c≥2时，c＋随c的增大而增大，
因此当且仅当c＝2时，||有最小值，此时Q点坐标为(，)或(，－)．
∴解得故所求的椭圆方程为＋＝1.
练4　如右图，在水平杆子AB上用两根垂直的绳子吊10 kg的物体W，∠ACW＝150°，
∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(忽略绳子重量)
解析：设A、B处所受力分别为f1、f2, 10 kg的重力用f表示，则f1＋f2＝f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝f2，＝f1，＝f，则∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，∠FCE＝90°，∴四边形CEWF为矩形．
∴||＝||cos30°＝10×＝5， ||＝||cos60°＝10×＝5.
[本课小结]
1．在实数运算中，ab＝0⇔a＝0或b＝0，而在向量运算中，a·b＝0⇒a＝0或b＝0是错误的，应该有以下四种情况：(1)a＝0，b≠0；(2)a≠0，a＝0；(3)a＝0，b＝0；(4)a≠0，b≠0，但a⊥b.
2．向量数量积的性质|a|＝，cosθ＝，a·b＝0⇔a⊥b，因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．
3．以下是向量数量积的向量形式和坐标形式，应恰当合理地运用．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则(1)a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2；(2)当a与b同向时，
a·b＝|a||b|＝·；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|＝－·.特别地，a·a＝a2＝|a|2＝x＋y，|a|＝.(3)|a·b|≤|a|·|b|，即|a·b|＝|x1x2＋y1y2|≤·.
4．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直．
5．用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论，要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件．
6．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：
(1)要证AB＝CD，可转化证明2＝2或||＝||.
(2)要证两线段AB∥CD，只要证存在一实数λ≠0，使等式＝λ成立即可．
(3)要证两线段AB⊥CD，只需证·＝0.
平面向量的数量积及应用活页作业答案
一、选择题
1．已知a，b，a＋b，a－b均为非零向量，则(a＋b)·(a－b)＝0是|a|＝|b|的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：(a＋b)·(a－b)＝0⇔a2－b2＝0⇔|a|2＝|b|2⇔|a|＝|b|.
答案：C
2．已知A(1,2)、B(3,4)、C(－2,2)、D(－3,5)，则向量在向量上的投影为
(　　)
A.　　　　　B．－ C. D．－
解析：＝(2,2)，＝(－1,3)，设和的夹角为α，则向量在向量上的投影为||cosα＝＝＝.
答案：A
3．设向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a·b＝0，|a|＝3，|c|＝4，则|b|＝（ ）
A．5 B. C. D．7
解析：由a＋b＋c＝0得c＝－(a＋b)，又∵a·b＝0，∴c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，∴|b|2＝|c|2－|a|2＝42－32＝7，即|b|＝.故选B.
答案：B
4．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，该平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)．下列说法正确的是
(　　)

A．∀P(x，y)满足||＝1，则x2＋y2＝1 B．∀P(x，y)满足x2＋y2＝1，则||≠1
C．∃P0(x0，y0)满足x＋y＝1，使得||＝1 D．以上说法都不正确
解析：显然若||＝1，可以得到2＝1＝(xe1＋ye2)2＝x2＋xy＋y2；同时若P0点的坐标为(0,1)或(1,0)时，P0(x0，y0)满足x＋y＝1，且使得||＝1.
答案：C
5．(2009·辽宁高考)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝
(　　)
A. B．2 C．4 D．12
解析：因为a＝(2,0)，|b|＝1，所以|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋2b|＝＝2.
答案：B
6．(2009·浙江高考)设向量a，b满足：
|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：设＝a，＝b，则△ABC为直角三角形，将半径为1的圆在△ABC的平面上移动，则该圆最多只能与△ABC的一个角的两边相交，故选B.
答案：B
7．在△ABC中，有如下命题，其中正确的是(　　)
①－＝　②＋＋＝0　③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形　④若·>0，则△ABC为锐角三角形
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
解析：在△ABC中，－＝，①错误；
若·>0，则∠B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．
答案：C
8．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为(　　)
A．－4＋ B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2

解析：如图，设∠APO＝θ，·＝||2·cos2θ＝||2·(1－2sin2θ)＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，当且仅当|OP|2＝，w。w-w*k&s%5￥u
即|OP|＝时，“＝”成立．
答案：D
二、填空题
9．(2008·江西高考)如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：

A.＋＝2； B.＝2＋2； C.·＝·； D．(·)＝(·)．
其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)
解析：＋＝＋＝＝2，∴A对．
取AD的中点O，则＝2＝2＋2，∴B对．
设||＝1，则·＝×2×cos＝3，而·＝2×1×cos＝1，∴C错．
又(·)＝(－2·)＝－2(·)＝(·)．∴D对．
∴真命题的代号是A，B，D.
答案：ABD
10．已知点H为△ABC的垂心，且·＝－3，则·的值为________．
解析：依题意得·(－)＝·＝0，因此·＝·，·＝－·＝3.
答案：3
11．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
解析：由题意得a·b＝|a||b|cos30°＝2××＝3.
答案：3
12．(2009·天津高考)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
解析：由题意有·＝||||cos60°＝6，∴·＝(＋)·(＋)＝(－)·(－)＝－2－2＋·＝－×12－×12＋×6＝－2.故填－2.
答案：－2
三、解答题
13．已知＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，
＝(3－6λ，1－3λ)．∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2,1)或＝(，)．
∴存在M(2,1)或M(，)满足题意．
14．已知a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，c＝(0,3)，－<θ<.
(1)若(4a－c)∥b，求θ；
(2)求|a＋b|的取值范围．
解析：(1)4a－c＝(4sinθ，4)－(0,3)＝(4sinθ，1)，
∵4a－c∥b，∴4sinθcosθ－1＝0.∴sin2θ＝.
∵θ∈(－，)，∴2θ∈(－π，π)．
∴2θ＝或，即θ＝或.
(2)a＋b＝(sinθ＋1,1＋cosθ)，
|a＋b|＝
＝＝，
由(1)知－<θ＋<，
∴sin(θ＋)∈(－，1]．
∴2sin(θ＋)∈(－2,2]．
∴|a＋b|∈(1, ＋1]．
15．(2009·珠海质检)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.

(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；
(2)设点B的坐标为(－，)，∠AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．
解析：(1)由已知，A，P的坐标分别为(1,0)，(cosθ，sinθ)，
∴＝(1＋cosθ，sinθ)，·＝1＋cosθ，
又S＝sinθ，
∴·＋S＝sinθ＋cosθ＋1＝sin(θ＋)＋1(0<θ<π)，
故·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.
(2)∵cosα＝－，sinα＝，
∴cos(θ0＋α)＝cosθ0cosα－sinθ0sinα＝－.
16．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ>0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算·的值；(3)求证：|FM|2＝|FA|·|FB|.
解析：(1)设A(x1，)，B(x2，)，由y＝得y′＝，
直线AM的方程为y－＝(x－x1)，
直线BM的方程为y－＝(x－x2)，
解方程组得x＝，y＝，即M(，)，
由已知F(0,2)，且A，B，F三点共线，设直线AB的方程为y＝kx＋2，与抛物线方程x2＝8y联立消去y可得x2－8kx－16＝0，
∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
∴M点的纵坐标为－2，∴线段FM中点的纵坐标为0，
即线段FM被x轴平分．
(2)＝(4k，－4)，＝(x2－x1，)，
∴·＝4k(x2－x1)－
＝(x2－x1)(4k－)＝0.
(3)∵＝(，－2－)，＝(，－2－)，
∴·＝－＋(2＋)(2＋)
＝＋4＋
＝－8＋4＋4＝0，
∴⊥，而MF⊥AB，所以在Rt△MAB中，
由射影定理即得|FM|2＝|FA|·|FB|.