A-初中数学竞赛辅导知识点2017.10.13.doc
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1、 . 初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要:如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771,54324) 11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,17567,212
2、81等)能被7整除的数的特征:抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除。如1001100298(能被7整除)又如700770014686,681256(能被7整除)能被11整除的数的特征:抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199(能11整除)又如10285102851023102399(能11整除) 第二讲 倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B(B0),如果B能整除A(记作BA),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如315,15是3的倍数,3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的
3、倍数,7是0的约数。3、整数A(A0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,A,2A,都是A的倍数,例如5的倍数有5,10,。4、整数A(A0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括1和A。例如6的约数是1,2,3,6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。7、在有余数的除法中,被除数除数商数余数。若用字母表示可记作:ABQR,当A,B,Q,R都是整数且B0时,AR能被B整除。例如23372,则232能被3整除。第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分
4、类: 质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。2、 根椐质数定义可知 质数只有1和本身两个正约数。 质数中只有一个偶数2。如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2;如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。第四讲 零的特性一、内容提要(一)零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数,是整数,是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数
5、。例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a 0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数bb时,a-b0;当ab时,a-b0.(三)在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。例如近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米; 后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下:1.55近似数1.61.651.595近似数1.601605 第五讲 an 的个位数一、内容提要1. 整数a的正整数次幂an,它的个位
6、数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。2. 0,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5,620的个位数是6。3. 2,3,7的正整数次幂的个位数字的规律见下表:指数12345678910底数224862486243397139713977931793179其规律是:2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现,即24k+1与21,24k2与22,24k3与23,24k4与24的个位数是相同的(K是正整数)。3和7也有类似的性质。4. 4,8,9的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用422,823,93
7、2转化为以2、3为底的幂。5. 综上所述,整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:a4km与am的个位数相同(k,m都是正整数)。第六讲 数学符号一、内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。数学符号一般可分为:1、元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用和表示圆和三角形等。2、关系符号:如等号,不等号,相似,全等,平行,垂直等。3、运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4、逻辑符号:略5、约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数a和b中,如果a除以b的商的整数部分记作Z(),而它的余数记作R
8、(), 那么Z()3,R()1;又如设表示不大于x的最大整数,那么5,6,0,3。正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义)对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符号不要与常规符号混淆。第七讲 用字母表示数内容提要和例题1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来,从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上,是一种飞跃。2、用字母表示数时,字母所取的值,应使代数式有意义,并使它所表示的实际问题有意义。例如写出数a的倒数用字母表示一切偶数解:
9、当a0时,a的倒数是设n为整数,2n可表示所有偶数。3、命题中的字母,一般要注明取值范围,在没有说明的情况下,它表示所学过的数,并且能使题设有意义。例题化简:x 3(x3) | x+5|解:x3,x30,x3(x3)x3当x5时,x5x5,当x 0,b0,那么 a+b0,不可逆绝对值性质 如果a0,那么|a|=a,也不可逆(若|a|=a则a0)7、有规律的计算,常可用字母表示其结果,或概括成公式。 例1:正整数中不同的五位数共有几个?不同的n位数呢? 解:不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数,即99999-9999=90000. 推广到n位正整数,则要观察
10、其规律一位正整数,从1到9共9个, 记作91二位正整数从10到99共90个, 记作910三位正整数从100到999共900个, 记作9102四位正整数从1000到9999共9000个, 记作9103 (指数3=4-1) n位正整数共910 n-1个例2 在线段AB上加了3个点C、D、E后,图中共有几条线段? 加n点呢?解:以A为一端的线段有: AC、AD、AE、AB 共4条以C为一端的线段有:(除CA外) CD、CE、CB 共3条以D为一端的线段有:(除DC、DA外) DE、DB 共2条以E为一端的线段有:(除ED、EC、EA外) EB 共1条共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意:3个点
11、时,是从1加到4, 因此 如果是n个点,则共有线段1+2+3+n+1= =条第八讲 抽屉原则一、内容提要1、4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子。2、如果用表示不小于的最小整数,例如3, 。那么抽屉原则可定义为:m个元素分成n个集合(m、n为正整数mn),则至少有一个集合里元素不少于个。3、根据的定义,已知m、n可求;己知,则可求的范围,例如已知3,那么23;已知2,则 12,即3x6,x有最小整数值4。 第九讲 一元一次方程解的
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