实变函数论课后答案第一章3.doc

实变函数论课后答案第一章3（p20-21）
第一章第三节
1. 证明上的全体无理数构成一不可数无穷集合.
证明：记上的全体有理数的集合为.
全体无理数的集合为，则.
由于是一可数集合，显然是无穷集合（否则为可数集，是可数集，得矛盾）.
故从P21定理7得 .
所以，为不可数无穷集合.
2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即非代数数）.
证明：记全体整系数多项式的全体的集合为，全体有理多项式的集合为.
则上节习题3，已知是可数集，而，故至多是可数集，，
而显然为无穷集合，故必为可数集..
任取一有.
的不同零点至多有个，故全体的零点的并至多为无数.
（至多为可数集，所以全体代数数之集
也是至多可数集.
又是可数集，.
带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.

3. 证明如果是可数基数，则.
证明：一方面对于正整数的任意子集，考虑的示性函数

令
则
若，则
故（否则）
故与的一个子集对等（）
另一方面，.令
（这里为中的全体有理数组成的集合）
若，则由有理数的稠密性，
是这一与对等的集合的子集.
故与的全体子集组成的集合的一个子集对等（的全体子集组成集的势，即）
也就与的一个子集对等.
由Berrstein定理
所以.
4. 证明如果，则中至少一个为.
证明：，故不妨认为
，为的子集.
若存在，使得.
则由于（显然）
故，而.
由Berrsrein 定理.
若，则从知

所以，则显然具有势
故易知
由Berrsrein 定理
证毕

5. 设是上全体实函数所构成的集合，证明
证明：的子集，作的示性函数

则映射规定了的所有子集的集合到上全体实函数所构成的集合的一个对应，且若，使得成立
则必有
所以与的一个子集对等.
反过来，任取，，是在中的图象，是中的一个子集.
且若，使
则，
表明使

故.
所以与的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从知

即与的一个子集对等.
所以由Berstein定理.