圆锥曲线知识点总结与经典例题.doc

圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备：
1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离
③夹角公式：直线 夹角为， 则
（3）弦长公式
直线上两点间的距离
①②
③
（4）两条直线的位置关系
（Ⅰ）
①=-1 ②
（Ⅱ）
①
② 或者（）
两平行线距离公式
距离 距离
二、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}.
点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.
=±2a,｜F2F2｜＞2a}.
点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.
图形

方
程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)

参数方程

(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）

顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)

准 线
x=±
准线垂直于长轴，且在椭圆外.
x=±
准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.
x=-
准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
焦距
2c （c=）
2c （c=）

离心率

e=1
焦半径
P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
P在右支时： P在左支时：
|PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0
|PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0
|PF|=x0+
【备注1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
【备注2】抛物线：
（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-　，开口向上；
抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.
（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
（3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，，(叫做焦半径).
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，，，
椭圆的标准方程为：；
（2）当为短轴端点时，，，
椭圆的标准方程为：；
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋
＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为
中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为，
由，得，
∴，，
，∴， ∴为所求．
五、求椭圆的离心率问题。
例 已知椭圆的离心率，求的值．
解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．
∴满足条件的或．
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)

2．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．
因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周长为4a＝4.

3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面积．
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.
七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．
解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．
所以所求直线方程为．
解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得

①－②得． ⑤
将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．
所求直线方程为．
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．
解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3），，时，所给方程没有轨迹．
说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点
解：（1）设双曲线方程为
∵ 、两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线方程为
说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在轴上，，
∴设所求双曲线方程为：（其中）
∵双曲线经过点（－5，2），∴
∴或（舍去）
∴所求双曲线方程是
说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
（3）设所求双曲线方程为：
∵双曲线过点，∴
∴或（舍）
∴所求双曲线方程为
说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．
三、求与双曲线有关的角度问题。
例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小．
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．
解：∵点在双曲线的左支上
∴
∴
∴
∵
∴
说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．
（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．
分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．
解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．
∴,
∵
∴在中，
∵
∴
∴
∴
说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5　已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．
解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵，
∴
∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．
例:是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．
分析：利用双曲线的定义求解．
解：在双曲线中，，，故．
由是双曲线上一点，得．
∴或．
又，得．
说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或．
六、求与圆有关的双曲线方程。

例6　求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解：设动圆的半径为
（1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：
，，
∴双曲线方程为
（2）∵⊙与⊙、⊙都外切
∴，，

∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：
，，
∴所求的双曲线的方程为：

（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：
，，
∴所求双曲线方程为：

说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
w.w.w.k.s.5.
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1） （2）
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
（2）原抛物线方程为：，
①当时，，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是：．
②当时，，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是：．
综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．

二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
解法一：设、，则由：可得：．
∵直线与抛物线相交，且，则．
∵AB中点横坐标为：，
解得：或（舍去）．
故所求直线方程为：．
解法二：设、，则有．
两式作差解：，即．
，
故或（舍去）．
则所求直线方程为：．

三、求直线中的参数问题
例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．
分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．
解：（1）由得：
设直线与抛物线交于与两点．则有：
，即
（2），底边长为，∴三角形高
∵点P在x轴上，∴设P点坐标是
则点P到直线的距离就等于h，即
或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．
四、与抛物线有关的最值问题
例4　定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则

．
设点的横坐标为，纵坐标为，，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故
，
，．
所以，此时到轴的距离的最小值为．
例　已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．
分析：本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．
解：如图，

由定义知，故．
取等号时，、、三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以点坐标为．