伴随矩阵的性质及应用.doc

中山大学
本科毕业论文（设计）

（2016届）

题 目： 伴随矩阵及其应用
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学 院： 数学学院
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摘 要

伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A 的伴随矩阵A* 的性质也是非常重要的. 在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例.显示对应的拉丁字符的拼音
字典

关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值

Abstract

Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix with the nature of the matrix is also very important. In the current teaching of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples.

Key words: adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue.

目录

摘要........................................................................I
Abstract....................................................................II
1. 引言.....................................................................1
2. 伴随矩阵的基本性质.......................................................2
3. 伴随矩阵的实际应用.......................................................6
3.1利用伴随矩阵求逆矩阵..................................................6
3.2由伴随矩阵推导原矩阵..................................................6
3.3伴随矩阵基本性质的直接应用........................................... 6
3.4伴随矩阵秩的应用......................................................8
参考文献....................................................................9

伴随矩阵及其应用
1. 引言

矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点.那么我们首先来了解一下什么是伴随矩阵，在给出伴随矩阵的定义之前，先给出余子式和代数余子式的定义.
定义1 阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的阶子式.
定义2 阶行列式的元素的余子式附以符号后，叫作元素的代数余子式，用符号表示，.
定义3 设是矩阵中元素的代数余子式，那么矩阵称为矩阵的伴随矩阵.
定义4 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，记作.
伴随矩阵中有两个常用的公式
公式一 .
公式二 ，
其中是单位矩阵，是矩阵的逆矩阵，是矩阵的行列式.
证明 设，由于 ，因此
，
同理，公式一得证.当是可逆矩阵时，，由公式一可得
，即.
注：公式二给出了矩阵的逆矩阵的构造方法，这在理论上是非常重要的.高等代数教材中给出的伴随矩阵，一般都是以上内容，但这对于伴随矩阵的探究远远不够，本文将给出伴随矩阵的一些性质及证明，同时结合伴随矩阵的性质，探究伴随矩阵的实际应用.

2. 伴随矩阵的基本性质
性质1 设是阶矩阵，则
证明 当时，则可逆，，由可知，，即，所以可逆，.
当时，中至少有一个阶子式不为0，即中至少有一个元素不为0，因此.又因为，则不是满秩矩阵，所以.由,可知,又因为，把代入，可知，综上可得.
当时，可知的所有阶子式均为0，即的所有元素均为0 ，于是，所以.
性质2 ，其中表示矩阵的转置矩阵.
证明 设，则的第行第列元素为，的第行第
2

列元素为，的第行第列元素为，的第行第列元素为，因此.
性质3 .
证明 当可逆，即时，因为，所以，当不可逆，即时，，可得.
性质4 .
证明 当，即为二阶矩阵时，设，则，，故.
当时，根据是否可逆分两种情况考虑.
可逆，即,由性质3可知
不可逆，即,可知.若，则，可知，从而.若，则，即，故.
性质5 当可逆时，.
证明 由可知，,而,故.
性质6 设为常数，.
证明 .
性质7 .
证明 当时，.
当时，令,，则存在无穷多个，使得
0

.与均可逆，所以，该等式两端的元素是关于的有限次多项式，因为存在无穷多个，这意味着存在无穷多个数使得对应的多项式相等，即上式对任意的都成立.当时，得.
伴随矩阵是由矩阵决定的，所以矩阵所具有的特点伴随矩阵一样具备.
性质8 若为正交矩阵，则也是正交矩阵.
证明 若为正交矩阵，则，于是有
. 同理，,故也为正交矩阵.
性质9 若矩阵与合同，且与可逆，那么与也合同.
证明 因为矩阵与合同，由矩阵合同的定义可知，存在可逆矩阵，使得，又与可逆，则,令，有，又，则有,令，则是可逆矩阵且，因此与也合同.
性质10 若为对合矩阵，即,则也为对合矩阵.
证明 若为对合矩阵，则，则，
因此也是对合矩阵.
性质11 若是一个阶正定矩阵，则也是正定矩阵.
证明 因为是正定矩阵，，故存在可逆矩阵，使得，那么有，由性质7可知，所以也是正定矩阵.
性质12 若是一个阶实对称矩阵，则也是对称矩阵.
证明 因为是实对称矩阵，有，由性质2可知，，所以，故也是对称矩阵.
性质13 若是阶可逆的，则可表示成的多项式.
证明 设的特征多项式为，由于可逆，故可知.由哈密顿-凯莱定理可得
，即，进而可得
，故.由，所以
.
注：哈密顿-凯莱定理：设阶矩阵的特征多项式为
，，则矩阵满足特征方程，即
性质14 若是可逆矩阵，是其特征值，是的属于的特征向量，那么的特征值为,是的属于特征值的特征向量.
证明 因为可逆，所以，由，两边同时乘以得，由可得，因此.

3. 伴随矩阵的实际应用
3.1利用伴随矩阵求逆矩阵
例1 设矩阵，，则
分析 求，首先要先将矩阵求出，再根据伴随矩阵定义，求得，利用公式即可解出.
解 由，得：，，
2

，故.
3.2由伴随矩阵推导原矩阵
例2 设矩阵的伴随矩阵，求.
分析 伴随矩阵是从矩阵根据定义得出的，本题若是采用定义的方法逆推矩阵，麻烦且容易弄错元素，因此考虑利用公式去推导矩阵.
解 ，根据性质4， ，此时，故， ，根据，对矩阵施行行初等变换 ，即.

3.3伴随矩阵基本性质的直接应用
例3 设为阶矩阵，其逆矩阵为，求，.
分析 先看，若直接求，需通过将求出，再通过伴随矩阵的定义求出，进而可以求出，但这个过程比较繁琐.根据前面的性质 ，只要求出和就可以求出,过程更为简便.
再看，如果直接求的话，就要先利用求出，再求，最后求逆.虽然是三阶矩阵，但这三步每一步都不容易.可根据前面的性质 简化运算过程.
这两个问题从公式中可以看出，只要求出与就能解决，那就先从求着手.
解
，
故，.由性质4可知，，此时,.由性质5可知，.
例4 求矩阵的伴随矩阵.
解 矩阵的特征多项式为：，，矩阵可逆，由性质可知.
例5 设为三阶矩阵，的特征值为1,3,5，试求行列式
解 因为的特征值为1,3,5，所以.由性质14可知，的特征值分别为，，.于是的特征值为，，.
故.
3.4伴随矩阵秩的应用
例6 试求出满足的一切阶矩阵.

1

分析 如何求解呢？我们可以从矩阵的秩来考虑，也就是利用性质1，但是要注意分类讨论.
解 当时，，此时有.
当时，则，即，此时.
当时，则，当时，.当时，设，则，即.因为若，则，，于是，这与矛盾，故此时.
当时，则，由可得，仅当时.
综上可得，满足的矩阵是：零矩阵以及满足的可逆矩阵.

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参考文献
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