第三章复变函数的积分(答案).doc

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
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§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分
一．选择题
1．设为从原点沿至的弧段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2. 设是，从1到2的线段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设是从到的直线段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
4．设在复平面处处解析且，则积分 [ ]
（A） （B） （C） （D）不能确定
二．填空题
1． 设为沿原点到点的直线段，则 2 。
2． 设为正向圆周，则
三．解答题
1．计算下列积分。
（1）

（2）

（3）

（4）

2．计算积分的值，其中为正向圆周：
（1）

（2）

3．分别沿与算出积分的值。
解：(1)沿y=x的积分曲线方程为

则原积分

（2）沿的积分曲线方程为

则原积分

4．计算下列积分
(1) ,C:从到的直线段；
C的方程：

则原积分

(2) ，C：上沿正向从1到。
C的方程：

则原积分

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
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§2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广－复合闭路定理
一、选择题
1． 设在单连通区域内解析，为内任一闭路，则必有 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
2．设为正向圆周，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分 [ ]
（A） （B） （C） （D）不能确定
二、填空题
1．设为正向圆周，则
2．闭曲线取正方向，则积分 0 。
三、解答题
利用柯西积分公式求复积分
（1）判断被积函数具有几个奇点；
（2）找出奇点中含在积分曲线内部的，
若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；
若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；
若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式.
1．计算下列积分
（1）
.

（2）．

解法二：
分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C1、 C2，
且C1和 C2含于C内部。由复合闭路定理，

（3）

同上题中的解法二，

（4），其中正向

2．计算积分，其中C为下列曲线：

（1）;

解法二：

（2）;

解法二：

（3）;

解法二：

（4）。

解法二：

3．计算，其中
（1）;
C的方程：

（2）.
C的方程：

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
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§5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数
一．选择题。
1．设是正向圆周，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2．设为正向圆周，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设，其中，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
4．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为 [ ]
（A） （B） （C） （D）以上都有可能
二．填空题：
1．闭曲线取正方向，积分

2．设，其中，则 0 ， 0 。

三．解答题：
1．设是解析函数且，求。

2．计算，C分别为：
(1)； (2) ； (3) .
解：

（1）
（2）
（3）
3．，其中为的任何复数，为正向
解：

4．计算下列积分的值，C为由所围的矩形边界正向。
(1)

(2)

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
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§7 解析函数与调和函数的关系 综合练习题
一、选择题
1．下列命题正确的是 [ ]
（A）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有。
（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。
（C）若在区域内解析，则为内的调和函数。
（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。
2．函数在闭路上及其内部解析，在的内部，则有 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -3 。
2．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 -u 。
3．设为负向圆周，且，则
三、解答题
1．由下列各已知调和函数求解析函数
（1）

（2）

解法二：

2．求具有下列形式的所有调和函数：
(1)与为常数，且不全为零。
解：

（2）
解：

3．计算积分，C为以下曲线：
(1)；

(2) ；

(3) .

4.设，求的值使为调和函数，并计算解析函数。
解：

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