惠州市2018届高三第三次调研考试数学(文科)试卷含详解.doc

惠州市2018届高三第三次调研考试
文科数学
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合，，则= （ ）
(A) (B) (C) (D)
2．设（为虚数单位），则（ ）
(A) (B) (C) (D) 2
3．等比数列中，，，则（　 ）
(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64
4. 已知向量，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
5．下列说法中正确的是（ ）
(A) “”是“函数是奇函数”的充要条件
(B) 若，则
(C) 若为假命题，则均为假命题
(D) “若，则”的否命题是“若，则”
6．已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是 （ ）
开始
输入x
n=1
n≤3
输出x
否
结束
x=2x+1
n=n+1
是

(A) (B) (C) (D)
7．将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数
的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
8．已知,满足条件，则的最大值是 ( )
(A) (B) (C) 3 (D) 4

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
10．已知函数的定义域为，满足，当时，
，则函数的大致图象是（ ）

(A) (B) (C) (D)
11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到
点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）
(A) (B) (C) (D)
12. 设定义在上的函数满足任意都有，且时，
，则的大小关系是（ ）
(A) (B)
(C) (D)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知数据的平均数为2，则数据的平均数为 .
14．设，且是与的等比中项，则的最小值为 .
15．当双曲线不是等轴双曲线时，我们把以双曲线的实轴、虚轴的端点作为顶点
的椭圆称为双曲线的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的
离心率为 ．
16．已知平面区域， ，在区域上
随机取一点，点落在区域内的概率为 ．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若， 边上的中线，求的面积.

18．（本小题满分12分）
在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目
“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次
考试中成绩在内的记为，其中“语文”科目成绩在内的考生有10人.

（1）求该考场考生数学科目成绩为的人数；
（2）已知参加本场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为.在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.

19．（本小题满分12分）
如图1,在直角梯形中,,,,
点为中点,将沿折起, 使平面平面,得到几何
体,如图2所示.
（1）在上是否存在一点,使平面？若存在，证明你的结论，
若不存在，请说明理由；
A
B
C
D
图2
E
（2）求点到平面的距离.
B
A
C
D
图1
E

20．（本小题满分12分）
已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上.
（1）求的最小值；
（2）设直线的斜率为，直线与椭圆交于， 两点，若点在第一象限，
且，求面积的最大值.

21．（本小题满分12分）
已知函数，其导函数，且，
．
（1）求的极值；
（2）求证：对任意，都有．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设射线，，若分别与曲线相交于异于原点的两点，
求的面积．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）解不等式；
（2），恒成立，求实数的取值范围.

惠州市2018届第三次调研考试
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
D
C
D
C
B
A
A
C
1.【解析】,,,故选D．
2.【解析】，所以 ，则 ，故选择B.
3.【解析，解得，.
故选B
4. 【解析】 ＝．故选C．
5.【解析】 试题分析：时，，但是不是奇函数，A错；
命题的否定是，B错；中只要有一个为假命题，则为假命题，C错；“若，则”的否命题是“若，则”是正确的，故选D．
6.【解析】输入，
经过第一次循环得到， 经过第二循环得到，
经过第三次循环得到，此时输出， 故选C．
考点：程序框图的识别及应用
7.【解析】因为，所以，所以 ，解得 ，又，所以，故选D.

8.【解析】．
因为 ，如图所示经过原点的直线斜率最大的为直线与直线的交
点，故，选C.

9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，高为4，
则，故选B．
10.【解析】由，知是奇函数，故排除C,D；当时，
，从而A正确.
11.【解析】根据抛物线的定义，点P到准线的距离等于到焦点的距离，则距离之和等于，
画图可得, 的最小值为圆心C与焦点F连线与抛物线相交于点P，则最小值等于
， 圆心，得，所以最小值为，故选A.
12.【解析】由题意可得： ，则： ，
据此有： ，即函数是周期为的周期函数，
构造新函数，则，
则函数是定义域内的增函数，
有： ，即： ，
利用函数的周期性可得： ，
据此可得： .
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 4 14. 4 15. 16.

13.【解析】平均数为
14.【解析】试题分析：因,即,故,
所以,应填.

15.【解析】试题分析：设双曲线C的方程为，所以 ，
∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为：，∴“伴生椭圆”的离心率为
16.【解析】【答案】
【解析】由题意可得，集合M表示坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N表示图中的阴影区域，其中 ，
由几何概型公式可得：点落在区域内的概率为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17. （本小题满分12分）
【答案】（1）; （2）当时， ；当时， .
【解析】试题分析：（1）将代入化简求值即可；（Ⅱ）在中，由余弦定理解
得或6，利用面积公式求解即可.
试题解析：
（1）由已知得
， ……2分
所以， ………4分
因为在中， ，
所以，
则． ……………6分
（2）由（1）得， ， ， ……………8分
在中， ，
代入条件得，解得或6， ………10分
当时， ；当时， ． ………12分

18. （本小题满分12分）
19. 解：(1)该考场的考生人数为10÷0.25=40人. ………2分
数学科目成绩为的人数为
40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3人. ………5分
(2) 语文和数学成绩为A的各有3人，其中有两人的两科成绩均为，所以还有两名同学
只有一科成绩为. ……………7分
设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为，则在至少一科成绩为的考生中，
随机抽取两人进行访谈，基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，
{丙，丁}共6个， …………… 10分
设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为”为事件，则事件包含的事件有1个，
则. ……………12分

19. 试题解析：(1)存在的中点成立, 连结,
在中,,分别为,的中点 ……2分
为的中位线
// ………4分
平面平面
//平面 ……………6分
(2) 设点到平面的距离为
⊥,,⊥
⊥⊥，⊥ ……………7分
⊥即⊥
………9分
三棱锥的高, ………10分
即
………12分

20. （本小题满分12分）
【答案】（1）的最小值为; （2）12.
【解析】试题分析：
（1） 设，由向量数量积的坐标运算求得，注意椭圆中
有，因此可得最小值；
（2） 由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长，求出点坐标，再求得到直线的距离
即三角形的高，从而得面积由基本不等式可得最大值．
试题解析：
（1）有题意可知， ，设点
则， ， ………2分
∴，
∵点在椭圆上，∴，即， ………3分
∴（）， ………4分
∴当时， 的最小值为． ………6分
（注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P求解）
（2）设的方程，点， ，
由得， ………7分
令，解得．
由韦达定理得， ，
由弦长公式得， ………8分
且，得．
又点到直线的距离， ………9分
∴
， ………11分
当且仅当时，等号成立，
∴ 面积最大值为2. ……12分

21.（本小题满分12分）
解析：（1）依题意得， ………2分
知在和上是减函数，在上是增函数 ………4分
∴， ………5分
（2）法1：易得时， ，
依题意知，只要
由知，只要 ………7分
令，则 ………8分
注意到，当时， ；当时， ， ………9分
即在上是减函数，在是增函数， ………10分
即，综上知对任意，都有 ………12分
法2：易得时， ， ………7分
由知, ,令………8分
则………9分
注意到，当时， ；当时， ，………10分
即在上是减函数，在是增函数， ，所以,
即.
综上知对任意，都有. ………12分
法3: 易得时， ， ………7分
由知, , ………8分
令,则………9分
令,则,………10分
知在递增,注意到,
所以, 在上是减函数，在是增函数,有,即
综上知对任意，都有. ……12分

22. （本小题满分10分）
解：(1)∵曲线的参数方程为
∴曲线的普通方程为 即 ……2分
将代入并化简得：
即曲线的极坐标方程为. …………5分
（2）由得到 …………7分
同理. ………… 9分
又∵
∴.
即的面积为. …………10分

23. （本小题满分10分）
23．解：（1）不等式，即，即，……2分
，解得或.……3分
所以不等式的解集为或.……4分
（2）……6分
故的最大值为，……8分
因为对于，使恒成立.
所以，即，
解得或，∴.……10分
数学试题（文科） 第 17 页，共 17 页