二次根式题型知识总结.doc

二次根式知识方法题型总结
一、本章知识内容归纳
1.概念：
①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；
②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；
③同类二次根式—— 的二次根式；
2.性质：①非负性; ②;
③ (字母从根号中开出来时要带绝对值
再根据具体情况判断是否需要讨论)
3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.
①乘法和积的算术平方根可互相转化:;
②除法和商的算术平方根可互相转化:
③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；
⑤乘法公式的推广：
二、本章常用方法归纳
方法1.开方
①偶数次方：； ②奇数次方：
方法2.分母有理化：
①概念：分母有理化就是通过 使得
其中 叫做该分母的有理化因式；
②常用的有理化因式：
与、与、与互为有理化因式；
③分母有理化步骤：
先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；
将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒数
①的倒数：（a>0）; ②的倒数：（a>0, b>0）;
③※因为 ，
所以的倒数为 ；
方法4. 利用“”外的因数化简“”
①； ②；
三、本章典型题型归纳
（一）二次根式的概念和性质
1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）－；
（2）－；
（3）；
2．若x、y为实数，y＝＋＋3．则=
3．根据下列条件，求字母x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）＝1－x ；
（4）※＝1 ；
4．已知＋＋＝0．
则a= , b= , c= .
5.已知，则=______________
6．在实数范围内因式分解：x4－4＝______________．
7．已知a,b,c为三角形的三边，
则=
8.若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的取值为
※9．已知a<0，化简二次根式 =
※10．把根号外的因式移到根号内，得
（二）二次根式的运算
11．乘除法口算：

（1）=
（3）=
（5）=

（2）=
（4）=
（6）=

（7） =
（9）=
（11）=
（8）=
（10）=
（12）=
（13）=
（15）=
（14）=

12. 计算：（能简算的要简算）
（1）． （2）＋(－1)3－2×

(3) (4)

(5) （6)

(7)

(8)）

(9) －―＋（a＞0，b＞0）

（10）

※（11） ※(12)

13. 若的整数部分是a，小数部分是b，则
14．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是___________
15．若一个正方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 .
※16．的关系是
17．甲、乙两人对题目“化简并求值：，其中”有不同的解答：
甲的解答：，
乙的解答：。
谁的解答是错误的？为什么？

※18. 先观察下列分母有理化：，从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:

19. 观察下列各式的特点：
，，，……
(1)请根据以上规律填空
(2)请根据以上规律写出第个不等式，并证明你的结论.

※(3)计算下列算式：

=
（三）二次根式的化简求值
20．若，求的值。

21．若求的值。

22．已知，求的值。

23.已知，，求下列各式的近似值(精确到0.01)：
(1)； (2)； (3).

（四）二次根式的比较大小
24.比较下列个数的大小
（1）3与（平方法） （2）－5与－6（被开方数）

（3）与（分母有理化）

（4）－与－（倒数法）

(5) 与（设参数比较）

(6) 与（分子有理化）

（7）已知：是正数，求证：

（五）二次根式的应用
25．在交通事故的处理中，交通警察往往用公式来判断该车是否超速，其中表示车速（单位km/s）,表示刹车后车轮划过的距离（单位：）,表示摩擦系数；某日，在一段限速60km/s的公路上，发生了一起两车追尾的事故，警察赶到后，经过测量，得出其中一辆车的，，请问该车超速了吗？

26．我们人体含有多少脂肪才算适当？据科学研究表明，可以利用身体的体重（，单位：千克）和身高（，单位：米）来计算身体脂肪水平，也称为身体质量指数（BMI）.计算公式是BMI=，而且男性的BMI指数范围是24~27，如果一位男生体重是70千克，身体脂肪属于正常，那么请你估计他的身高大约在哪个范围内？（精确到0.01米）.

27．谈祥柏是中国人民解放军军医大学数学教授，有一次他将我国近代著名作家徐志摩《再别康桥》中的两句组成了如下的等式组：
，这里相同的汉字表示０，１，……，９中相同的数字，不同的汉字表示不同数字，你能利用所学知识破解它吗？

28．某人用一架不等臂天平称一块铁的质量，把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为300克；把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为900克，利用所学知识，求这块铁的实际质量

29．有一块木板，如图，请你把它切成三块，
然后拼成一个正方形的桌面。

30．设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h．
（1）如果a＝2，b＝，求h； （2）如果b＝，h＝2，求a．

31.某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（如图：AB）,经测量，在A处的北偏东60°方向，B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？请说明理由。
C
A
B
45°
60°

※32．设三所学校A，B，C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现值网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：AB+BC；方案乙：AD+BC（D为BC中点）；方案丙：AO+BO+CO（O为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？

※33.一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？　

因为有爱，这个社会织了一个梳不清的网，逃不出的网，因为有爱，大家才走到一起来，生活有了欢乐，有苦恼，有了说不完的千千结，谁也无法去解。因为有爱，你认识了我，我认识了你，也许就因为那一眼，我们从此在也不得分离。因为有爱，人们走南创北，什么地方都去，不管天涯海角，一个爱就有很多的力量，驱使你去很远很远，因为有爱，多少人远走他乡，离乡背景，永远不回头了。
　　因为有爱，天意会安排你去坐飞机，去坐轮船，去坐火车，去坐大客运，有可能那个上飞机的剪票员，剪过千万张机票，都懒的看他一眼，偏偏就看了你一眼，恰在这时一个证件就让她给拾了，从此相识了，走在一块，永远不分离，爱情的基础，就是剪票口看了一眼，就产生了不可磨灭的真爱。有可能坐在飞机的座位上，那个身边的姑娘在你们的谈话中，彼此就默默的分不开了，至于以前，谁去过问，也勿须过问，有爱还问历史干什么，那种爱是纯真切的，不是对每个人都有这样机遇，所以一旦走到一块，彼此之间格外珍惜，那是神话般的美丽故事，谁能不珍惜呢？
　　因为有爱，才坐到一个火车上，她就坐在你的身边，瞌睡了，她就倒在你的身上睡了一路，醒来了，她不好意思，你也不好意思，就这样认识了熟悉了，当下了火车时，彼此在也不想分离，当他们走在一起时，两家的距离确是相隔千万里的路程，要是平常，你愿意从万里以外的地方说媳妇吗？就是有，谁给你牵这线，你愿意嫁到万里之遥的地方吗？你肯定没有想过，是天意给他们安排了这次火车的机遇。要不他们怎样能到一块呢？
　　无边的蓝天，如纱的白云，茫茫的大海，乘风破浪巨轮，因为有爱，一个小小的世界，就会安排他们相见，或许你买的船票，和她就在一个船舱里，就是不在一个船舱，甲板上也会相遇，一块沐浴着海风的吹拂，一块欣赏着大海的波涛。 不觉间走到了一块，当谈完大海的宽阔，在论海风凉爽时，才知道对方并不熟悉的人，交谈中就对方说出了自己的姓名，下了船到了一个同一的城市，就是自己的依靠了，相依为命，在艰难在困惑，日子总算一天天的好了起来，你说这是不是因为爱才走到一起来呢？
　　也许彼此都喜欢上了对方，但谁也不知道谁的名字，也不知道都在什么单位，只在是下班的十字口彼此投过一个眼神，就这样在风雨里等待，也无法去打听，也没有勇气敢问对方，偶然的一次班车上，坐在了一块，去同一个城市玩，也没有什么目地，纯粹是一个人出去散心，有情侣人终成眷属，苍天安排了一次机遇，就走到了一起，当成为一家人时，自己单位的人几个都是她的亲戚，他的单位几个人都是他的亲戚，可当时谁给你介绍呢？苍天安排的亲眷没有一丝缝隙，百分之百的成功。
　　因为有爱，男女的结合没有什么理由，爱你没有商量，现在的旅游发展的特别快，当你走出世界的时候，你发现生活很有意思，不知乍的，一个车上，东南西北的人都有，只要坐在一个车上，就如同一家人似的，瞬间就改变了人们的思想观念，车上有老的，有少的，有中年的，短时间的相处，就如同父母和儿女，兄弟和姐妹，有说有笑，相互关系，分离时，都有一种恋恋不舍的那种感觉，用佛的观念来说，因为缘分还没有修到，只能今生短暂的相聚，很有意思，就因为有那么一段爱的缘分，今生天意就安排了一段旅游的机会，令人很欣慰。
　　　因为有爱，这个社会织了一个梳不清的网，逃不出的网，因为有爱，大家才走到一起来，生活有了欢乐，有苦恼，有了说不完的千千结，谁也无法去解。因为有爱，你认识了我，我认识了你，也许就因为那一眼，我们从此在也不得分离。因为有爱，人们走南创北，什么地方都去，不管天涯海角，一个爱就有很多的力量，驱使你去很远很远，因为有爱，多少人远走他乡，离乡背景，永远不回头了。
　　因为有爱，天意会安排你去坐飞机，去坐轮船，去坐火车，去坐大客运，有可能那个上飞机的剪票员，剪过千万张机票，都懒的看他一眼，偏偏就看了你一眼，恰在这时一个证件就让她给拾了，从此相识了，走在一块，永远不分离，爱情的基础，就是剪票口看了一眼，就产生了不可磨灭的真爱。有可能坐在飞机的座位上，那个身边的姑娘在你们的谈话中，彼此就默默的分不开了，至于以前，谁去过问，也勿须过问，有爱还问历史干什么，那种爱是纯真切的，不是对每个人都有这样机遇，所以一旦走到一块，彼此之间格外珍惜，那是神话般的美丽故事，谁能不珍惜呢？
　　因为有爱，才坐到一个火车上，她就坐在你的身边，瞌睡了，她就倒在你的身上睡了一路，醒来了，她不好意思，你也不好意思，就这样认识了熟悉了，当下了火车时，彼此在也不想分离，当他们走在一起时，两家的距离确是相隔千万里的路程，要是平常，你愿意从万里以外的地方说媳妇吗？就是有，谁给你牵这线，你愿意嫁到万里之遥的地方吗？你肯定没有想过，是天意给他们安排了这次火车的机遇。要不他们怎样能到一块呢？
　　无边的蓝天，如纱的白云，茫茫的大海，乘风破浪巨轮，因为有爱，一个小小的世界，就会安排他们相见，或许你买的船票，和她就在一个船舱里，就是不在一个船舱，甲板上也会相遇，一块沐浴着海风的吹拂，一块欣赏着大海的波涛。 不觉间走到了一块，当谈完大海的宽阔，在论海风凉爽时，才知道对方并不熟悉的人，交谈中就对方说出了自己的姓名，下了船到了一个同一的城市，就是自己的依靠了，相依为命，在艰难在困惑，日子总算一天天的好了起来，你说这是不是因为爱才走到一起来呢？
　　也许彼此都喜欢上了对方，但谁也不知道谁的名字，也不知道都在什么单位，只在是下班的十字口彼此投过一个眼神，就这样在风雨里等待，也无法去打听，也没有勇气敢问对方，偶然的一次班车上，坐在了一块，去同一个城市玩，也没有什么目地，纯粹是一个人出去散心，有情侣人终成眷属，苍天安排了一次机遇，就走到了一起，当成为一家人时，自己单位的人几个都是她的亲戚，他的单位几个人都是他的亲戚，可当时谁给你介绍呢？苍天安排的亲眷没有一丝缝隙，百分之百的成功。
　　因为有爱，男女的结合没有什么理由，爱你没有商量，现在的旅游发展的特别快，当你走出世界的时候，你发现生活很有意思，不知乍的，一个车上，东南西北的人都有，只要坐在一个车上，就如同一家人似的，瞬间就改变了人们的思想观念，车上有老的，有少的，有中年的，短时间的相处，就如同父母和儿女，兄弟和姐妹，有说有笑，相互关系，分离时，都有一种恋恋不舍的那种感觉，用佛的观念来说，因为缘分还没有修到，只能今生短暂的相聚，很有意思，就因为有那么一段爱的缘分，今生天意就安排了一段旅游的机会，令人很欣慰。
因为有爱，生活中苍天给你周围安排了很多朋友，有男的，有女的，有老的，有少的，他们和你没有一点血缘关系，就是一次会议，一次酒宴，一次下乡，或许在朋友家相逢，或许路上见的多了，总的来说不管是什么原因，番正是认识了，有个什么事

情，你也不知是别人知道了，都来帮忙，有人叫你大侄子，有人叫你哥，有人叫你弟，还有称同学的，好象一家子人似的，谁也没有图谁什么，说句老实话，有些都不知他们在什么单位，这些人就这样从认识到熟悉，亲如一家，一见老人去叫叔姨，同辈我在称他们哥，弟，姐和妹，在小的也就是我侄子了，因为有爱，我成了天然的一家。