平行四边形判定-题型归纳(较难).doc

对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）
平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )
A．4<a<16 B．14<a<26 C．12<a<20 D．8<a<32
平行四边形的判定：
1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4：对角线相互平分的四边形是平行四边形

14.平行四边形的判定（一） 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．
过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE，交AD于点F；
求证：四边形AECF为平行四边形

练习：
1、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD，
∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°
∴EF∥BC，
又∵EC=EF，
∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°，
∴CF∥BD
∴四边形BCFD为平行四边形．
2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q。试说明PQ与MN互相平分。

3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．

15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交
AC于点G。
求证：AF＝DF

【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD。
∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。
∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。
练习：
1、如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。
又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD。
∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN。∴AE∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。
在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF=90 ，AD=CB，∠ADE=∠FBC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）。
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

2、如图：在ABCD中，分别是四条边上的点，且,
试说明：与相互平分．

例题2：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：四边形EFCD是平行四边形

练习：
1、如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求点B的坐标.
(2)求证:四边形ABCE是平行四边形.
(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8,
∴AB=4,OA=43,∴B(43,4).
(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8.
∵D点为OB的中点,∴OD=4.
又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,
∴AD=12OB=OD,
∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.
又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,
∴OE=4,∴E(0,4),
∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB,
∴四边形ABCE是平行四边形.
(3)∵GA=GC,∴GA2=GC2.
即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(43)2=(8-OG)2,∴OG=1.

16.平行四边形的判定（三）:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例题1：如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【 】

A．平行四边形　　B．矩形　　C．菱形　　D．梯形
练习：
1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．

．
例题2：如图所示，试证明：四边形PONM是平行四边形．

练习：
1、在ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.
求证:四边形BEDF是平行四边形.

2、四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形

3、等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．

4、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论．

证明：四边形ADEF是平行四边形．
连接ED、EF，
∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．
∴∠DBE=∠ABC．
∴△ABC≌△DBE．
同理可证△ABC≌△FEC，
∴AB=EF，AC=DE．
∵AB=AD，AC=AF，
∴AD=EF，DE=AF．
∴四边形ADEF是平行四边形

17.平行四边形的判定（四）:对角线相互平分的四边形是平行四边形
例题1：已知A（2,3）B（-2,5），A、B点关于原点的对称点分别为C、D，依次连接A、B、C、D点，则四边形ABCD是什么四边形？

例题2、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作于E点，于F点，求证：四边形AECF是平行四边形

练习：
1、如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BEAC， DFAC，E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG、GF、FH，HE为公园中小路，问小明从B地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远？

2、如图所示，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AFCE，求证：四边形BEDF是平行四边形．

3、如图，在ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AMCN， DEBF，求证：四边形MFNE是平行四边形

18.坐标平行四边形
知识点总结：若A、B、C为已知点，则求一点D与他们构成平行四边形，则有三个点、、，则有=A+B-C =A+C-B =B+C-A（按照中点坐标公式和对角线相互平分性质）
例题1、已知点A（﹣1，0），B（2，﹣1），D（0，1）．请在直角坐标系中找一点C与A、B、C、D四点构成平行四边形，则点C的坐标为　 ______________________.

练习：
1、若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第
四个顶点不可能在【 】
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2、已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为　 　．

例题2、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。 (2)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由

练习：
1、如图，四边形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且AF=2． （1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由

19.动点平行四边形
例题1：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

练习：
1、如图，在△ABC中，AB=AC，射线AM∥BC，点P从点A出发沿射线AM运动，同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接PQ、AQ、PC，当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是平行四边形；
（2）若BC=6cm，点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s，填空：
①当t为_______s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形；

（1）证明：∵D为AC中点，
∴AD=CD，
∵AM∥BC，
∴∠PAC=∠ACB，
在△ADP和△CDQ中，

∠PAD＝∠DCQ
AD＝CD
∠ADP＝∠CDQ

，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴PD=DQ，
又∵AD=CD，
∴四边形AQCP是平行四边形；

（2）①当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
由题意得：t=6-4t，
解得：t=1.2，
当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
由题意得：t=4t-6，
解得：t=2，
故答案为：1.2或2；

2、如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF=FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．

解：（1）在Rt△AEB中，∵AC=BC，
∴
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF，
∵EF=FD．
∴BF=FD．

（2）能．理由如下：
若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，
∴BC=BF，
∴BA=BD，∠A=45°．
∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形．

3、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．

D
A
C
B

4、直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O-B-A运动。 （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。 （3
）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。

20.性质和判定综合
例题1、如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB．[来源:学,科,网]
（2）四边形ABCD是平行四边形．

解：（1）因为DF∥BE， 所以∠AFD＝∠CEB． 又因为AF=CE， DF=BE，
所以△AFD≌⊿CEB．
（2）由(1)△AFD≌⊿CEB知AD=BC，∠DAF＝∠BCE ， 所以AD∥BC ，
所以四边形ABCD是平行四边形．

例题2：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为 ▲ 。

例题3、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】

A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】平行四边形的判定和性质。
【分析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE。
∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形。∴PEAB。，
∵四边形BDEF是平行四边形，∴EFBD。
∴EF∥AB。∴P，E，F共线。
设BD=a，
∵，∴PE=AB=4a。∴PF=PE﹣EF=3a。
∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC。
∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形。∴BH=PF=3a。
∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故选D。

练习:
1、如图，是等边三角形，P是三角形内任一点，
，若周长为12，求PD+PE+PF的值．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]

2、图3是某城EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，EF=FC．甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1市部分街道示意图，图中AF∥BC，路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F．假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F点，请说明理由．[来源:Z§xx§k.Com]

3、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，
A
B
C
D
E
F
求证：AD=CF。

4、如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG。
求证：四边形GEHF是平行四边形。

5、已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：△AEM≌△CFN；21世纪教育网
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.

【答案】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC。
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD。 ∴∠EAM=∠FCN。
又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA）。
（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN， ∴AM=CN。
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD 。∴BMDN。
∴四边形BMDN是平行四边形。
【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

F
E
M
C
B
A
D
6、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M，求证：CD=CM.

7、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）的值为　 　；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE==，
∵sin∠BAE==sin∠FEC=，
∴=，
（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB﹣BK=BC﹣BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MDEP，
∴四边形DMEP为平行四边形．