七年级奥数.doc
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1、第十一讲线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念,这两个概念在日常生活中有着广泛的应用 小明做作业需要买一些文具在他家的左边200米处有一家文具店,他从家出发向文具店走去,走到一半发现忘了带钱,又回家取钱买了文具后回到家中问小明共走了多长的路程?在高层建筑中,一般都设有电梯,人们上楼一般都乘坐电梯,你想过吗,设计电梯与线段的什么性质有关?钟表是大家熟悉的计时工具,你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合?什么时候时针与分针成90角?我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题,不少问题很有趣,也颇费脑筋,对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会例1 已知:AB
2、BCCD=234,E,F分别是AB和CD的中点,且EF=12厘米(cm),求AD的长(如图16)分析 线段EF是线段AD的一部分,题设给出了EF的长度,只要知道线段EF占全线段AD的份额,就可求出AD的长了解 因为ABBCCD=234,E是AB中点,F是CD中点,将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位,则AB=2,BC=3,CD=4,EB=1,CF=2从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6,例2 在直线l上取 A,B两点,使AB=10厘米,再在l上取一点C,使AC=2厘米,M,N分别是AB,AC中点求MN的长度(如图17)分析 因为是在直线上取C点,因此有两种情形:C点在
3、A点的右侧或C点在A点的左侧解 若C点在A点的右侧(即在线段AB上)因为AC=2厘米, N为 AC中点,所以 AN=1厘米;又 AB=10厘米,M为AB中点,所以AM=5厘米则MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图17(a)若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上),此时MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 17(b)线段的最基本性质是“两点之间线段最短”,这在生活中有广泛应用前面所提到的高层建筑所设电梯的路线,就是连接两层楼之间的线段,而楼梯的路线则是折线,电梯的路线最短例3 如图18所示在一条河流的北侧,有A,B两处牧场每天清晨,羊群从A出发,到河边饮水后, 折到B处放牧吃草请问
4、, 饮水处应设在河流的什么位置,从A到B羊群行走的路程最短?分析 将河流看作直线l(如图19所示)设羊群在河边的饮水点为C,则羊群行走路程为AC+CB设A关于直线l的对称点为A,由对称性知CA=CA因此,羊群行走的路程为AC+CB线段AC与 CB是连结点A与点B之间的折线由线段的基本性质知,连结点A与点B之间的线中,线段AB最短设线段AB与直线l交于C那么,C点就是所选的最好的饮水地点,下面我们来说明这一点解 作A关于直线l的对称点A连结B,A,并设线段BA与l交于C设C是l上不同于C的另外一点,只要证明AC+CBAC+CB 即可利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC=CA及 CA=CA,
5、所以AC+CB=CA+CB,AC+CB=CA+CB=AB而CA与CB是连结A,B的折线,而AB则是连结这两点之间的线段,所以CA+CBAB=AC+CB=AC+CB,从而成立,即选择C点作为羊群的饮水点,羊群的行程最短例4 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形问其中最长的一段的取值范围分析 设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 110),而线段BC,CD,DE,EA则可看成是点A,B之间的一条折线,因此,ABBC+CD+DE+EA如果AB是最长的一段,上面的不等式关系仍然成立,从而可以求出它的取值范围解 设最长的一段AB的长度为x厘米,则其余4段
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