高二数学暑假补充练习12：综合试卷(4).doc

综合试卷（2）
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．设集合A={-1,1,3},B={}{3},则实数a的值为 ．
2．在复平面内,复数对应的点位于第 象限.
3．已知直线：和：，则的充要条件是 ．
4．数据的方差为3，则数据的方差为 ．
5．已知函数，若，则的取值范围是 ．
6．已知，则= ．
7．设、、是三个不重合的平面,m、n是不重合的直线,给出下列命题:
①若则; ②若m∥∥则;
③若∥∥则∥; ④若m、n在内的射影互相垂直,则n.
其中错误命题有 个.
8．若，，则与的夹角为锐角的概率
是 ．
9．设等比数列{}的前n项和为则x与y的大小关系
为 ．
10．若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是 ．
11．已知，设函数的最大值为M，最小值为N，
那么M+N ．[来源:Z&xx&k.Com]
12．在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的
点的个数为 ．
13．设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式
的解集为 ．
14．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，[来源:Zxxk.Com]
则线段长度的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知△中，∠A，∠B，∠C的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
20070316
（2）设向量，，求当取最大值时，的值．

16．(本小题满分14分)
如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的
中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：
F
E
O
A
C
B
D
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE．

17．(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建
议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能
够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).

18．(本小题满分16分)
已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

19．(本小题满分16分)
设数列的前项的和为，已知.
⑴求,及；
⑵设若对一切均有，求实数的取值范围.

20．(本小题满分16分)
已知在上是增函数，在上是减函数.
(1)求与的表达式；
(2)设，试问有几个零点，并说明理由？

十二参考答案
一、填空题：
1．答案：1解析：∵ ∴a+2=3, ∴a=1.
2．答案：一 解析：i,所以在复平面内,复数z对应的点位于第一象限.
3．答案：解析：.
4．答案：18解析：数据的方差为[来源:学|科|网]
5．答案：解析：由题知，，
若，则9+，即，解得.
6．答案：解析：依题意得，
又，
则.
7．答案：3 解析：①错,此时与也可能相交或∥;②错,如直线m,n均平行于两平面的交线,此时m∥n;③正确;面面平行具有传递性;④错;通过空间想象两直线的位置关系不确定.
8．答案：解析：因为与的夹角为锐角，所以满足条件的有所以
9．答案：x=y解析：由题意,得成等比数列,所以展开整理,得即x=y.
10．答案：解析：由
当n为偶数时;
当n为奇数时-2).
综上,当不等式恒成立时,a的取值范围是.
11．答案：解析：又为奇函数，所以.
12．答案：6解析：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、
、、、上. 或者，若在上，设,
有.
故上有一点（的中点）满足条件.
同理在、、、、上各有一点满足条件.
又若点在上上，则.
故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.
13．答案：解析：记，由得，即在上递增，由得，解得.
14．答案： 解析：由题可知动直线过定点．设点，由可求得点的轨迹方程为圆，故线段长度的最大值为
二、解答题：
15. 解：（1）由题意， ……………………… 2分
所以. ……………………… 3分
因为，所以.
所以. …………………………………… 5分
因为，所以. ………………………………… 6分
（2）因为 …………………………… 8分
所以………… 10分
所以当时，取最大值
此时（），于是 ………………………… 12分
所以 ………………………………………… 14分

16.证明：（1）因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，ABÌ平面ABC，
又在半圆O中，AB⊥AC．
所以AB⊥平面ACDE．
因为ABÌ平面ABE，
所以平面ABE⊥平面ACDE． ………………… 6分
（2）设线段AC与OF交于点M，连结MD．
F
E
O
A
C
B
D
M
因为F为的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点．
因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB．
又OF平面BAE，ABÌ平面ABE，
所以OF∥平面BAE． ………………… 8分
因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC＝2DE，
所以DE∥AM，且DE＝AM．
所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE．
又DM平面BAE，AEÌ平面ABE，
所以DM∥平面BAE． ………………… 11分
又OF∥平面BAE，MD∩OF＝M，MDÌ平面OFD，OFÌ平面OFD，
所以平面OFD∥平面BAE． ………………… 14分
17．解：（Ⅰ）因为,所以… …………1分
则当时,由,解得,所以此时……… … …… 3分
当时,由,解得,所以此时………… ………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…… ……… 6分
（Ⅱ）当时,……… ………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,
有最小值为 ………………………12分
令,解得,
所以的最小值为 ………………14分

18.解：（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为， ……=…………8分
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）[来源:Z|xx|k.Com]
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．………………………………………………10分
（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分
19. 解：依题意，时，;时，.………………2分
因为，
时
所以………………5分
上式对也成立，所以………………6分
（2）当时，,当时，,
所以………………8分[来源:学科网]
，，数列是等比数列，
则.………………12分
因为随的增大而增大，所以，
由得，所以或………………16分

20.解：(1)在恒成立………………2分
在恒成立…………………4分
所以………………………………………………………………6分
(2)记
所以，………………………………………………8分
令，
所以
令，因为，……………………10分
所以有唯一解，且当时，，递增，
当时，，递减，…………………………12分
是的唯一最小值点，且时，
故有且仅有一个零点. …………………………16分