数学：2.2.3两条直线的位置关系--学案二(新人教B版必修2).doc

两条直线的位置关系

●考试目标 主词填空
1.两直线平行的充要条件.
已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2.
2.两直线垂直的充要条件.
已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1.
3.两条直线的夹角.
设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan，tan.
4.点到直线的距离.
点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
5.两平行线间的距离.
两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离d=
6.对称问题.
(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为 (2a-x，2b-y).
(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是
.[来源:Zxxk.Com]

●题型示例 点津归纳
【例1】 已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.
【解前点津】 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.
【规范解答】 当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1∥l2，
当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，
①当-≠即m≠-1，m≠3时， l1与l2相交.
②当，即m=-1时l1∥l2.
③当，即m=3时， l1与l2重合.
综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当
m=3时， l1与l2重合.
【解后归纳】 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.
【例2】 求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程.
【解前点津】 画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，
可“避免讨论”.
【规范解答】 |AC|==2，∵|AB|=在Rt△ABC中，
求出|BC|=1，则tan∠ABC=2. 设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或.
∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求.
【解后归纳】 本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.
【例3】 一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).
(1)求光线的入射线方程；
(2)求这条光线从P到Q的长度.
【解前点津】 先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程.
【规范解答】 (1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.
由得M坐标为，又∵M为QQ′中点，故由
Q′(-2，-2).
设入射线与l交点为N，且P，N，Q′共线，得入射线方程为：
，即5x-4y+2=0.
(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|，
∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=，
即这条光线从P到Q的长度是.
【解后归纳】 无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.
【例4】 已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)求l3到l1的角θ；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.
【解前点津】 求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.
【规范解答】 (1)由l2：2x-y-=0，∴l1与l2的距离d=，化简得：，∵a>0，∴a=3.
(2)由(1)，l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ==-3，
∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3.
(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，
且，即c=或c=.
∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：
，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：
，舍去， 由
∴P即为同时满足三个条件的点.
【解后归纳】 (3)属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论(肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.

●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= ( )
A.-3 B. –6 C.- D. 
2.点(0，5)到直线y=2x的距离是 ( )
A. B. C. D.
3.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为( ) 
A.-或-3 B.或3 C.或3 D.或-3
4.若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( )
A. (-，+∞) B.(-∞，2) C.(- ，2) D.(-∞，- )∪(2，+∞)
5.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )
A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2  C.=-1 D. =1
6.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为( )
A.a=，b=6 B. a=，b=-6 C. a=3，b=-2  D. a=3，b=6
7.过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有( )[来源:学+科+网]
A. 0条 B. 2条 C. 1条 D. 3条
8.对0<|θ|<的角θ，两直线l1：x-y·sinθ=cosθ与l2：x·cosθ+y=1的交点为( )[来源:Zxxk.Com]
A.在单位圆上 B.在单位圆外
C在单位圆内，但不是圆心 D.是单位圆的圆心
9.已知A(-3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是( )
A.(-1，0) B.(1，0) C.(，0) D.(0， )
10.设直线l1：x·sinα+y·+6=0， l2：x+y·=0，α∈，则直线l1与l2的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.相交但不垂直
二、思维激活
11.直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于 .
12.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= c= m= .
13.两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 .
14.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点 .
三、能力提高
15.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.

16.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.

17.求函数y=的最小值.

18.已知点A(4，1)，B(0，4)，试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值.

[来源:学科网ZXXK]

第2课 两条直线的位置关系习题解答

1.B 由-=3即得a=-6.
2.B 直接利用公式计算.
3.C k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得.
4.C 解方程组
由.
5.A 当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足.
6.A 因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故==，∴a=，b=6.
7.B 交点P为(1，3)，单位圆的两条切线.
8.C 由x-ysinθ=cosθ且xcosθ+y=1，
∴x2+y2=<1，但x=y=0不成立.
9.B 因B关于x轴对称点为B′(2，-2)，则直线AB′的方程可求得为：2x+y=2令y=0得x=1.
10.B 两直线的斜率之积k1·k2=
又α∈，∴|sinα|=-sinα，∴k1·k2=-1，∴l1⊥l2.
11. 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直，∴=-1m=-5.
12. a=10，c=-12，m=-2 两直线垂直，所以-=-1a=10，又两直线都过点(1，m)，
故.
13. AB的斜率kAB=，当两直线都与AB垂直时，平行线距离最大.
所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.
14.由2p-q+1=0直线为px+2y+(2p+1)=0 (x+2)·p+(2y+1)=0，
令故定点为.
15.解方程组：得交点C(1，2)，
当A、B两点在l的同侧时， l∥AB，而kAB=，故l为：y-2=-·(x-1)，即：x+2y-5=0.
当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点(4，)，由两点式知l方程为化之x-6y+11=0.
综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.
16.如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交
点为(1，3)和(1，-6)，其距为|3-(-6)|=9符合题意.
当l的斜率存在时，设l：y=k(x-1)，由
及，解得l与两平行直线的交点分别为
.
故由=92，得：k=-故此时l：y=-(x-1)， 即4x+3y-4=0.
综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1.
17. y=
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为：在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取得最小值，∵A关于x轴的对称点为A′(0，-1)，所以(|PA|+|PB|)min=|A′B|=.
18.如图所示，设B关于l的对称点为B′(x′，y′)，由
解得B′(3，3)，直线AB′的方程为
即2x+y-9=0.
由，故所求P点坐标为(2，5)
此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|=为所求.