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全等三角形各类题型讲解.doc
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全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作 “△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等; 4. 寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成翻折 :如图(1),DBOC≌DEOD,DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的; 旋转 :如图(2),DCOD≌DBOA,DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的; 平移 :如图(3),DDEF≌DACB,DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法:SAS,SSS,ASA,AAS,HL 6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等; (2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。 【分类解析】 (1)证明线段(或角)相等 例1:如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC (2)证明线段平行 例2:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:AB∥CD (3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例3:如图,在△ ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证:CD=2CE (4)证明线段相互垂直 例4:已知:如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。 【题型点拨】 例1.如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD 例2如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分, 求证: 【题型展示】 例1 如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD. 【实战模拟】 1. 下列判断正确的是( ) (A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 (B)有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等 (C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 (D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2. 已知:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC. 3. 如图,已知C为线段AB上的一点,DACM和DCBN都是等边三角形,AN和CM相交于F点,BM和CN交于E点。求证:(1)DCEF是等边三角形。(2)设AN、BM交于O,求∠AOM的度数 4. 如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O, 求证:OE=OD 5. 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G. 求证:BD=CG. 6、(1)如图23(1),以的边、为边分别向外作正方形和正方形 ,连结,试判断与面积之间的关系,并说明理由。 (2)园林小路,曲径通幽,如图23(2)所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是平方米,内圈的所有三角形的面积之和 是平方米,这条小路一共占地多少平方米? A G F C B D E (图1) 4- 配套讲稿:
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