浙教版八年级下数学第五章《特殊平行四边形》中考试题(解答题)——顾家栋.doc

浙教版八年级下数学第五章《特殊平行四边形》中考试题——顾家栋
解答题
题型：解答题
.（2014 四川巴中 中考）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．
（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是　　，并证明．
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．

答案：（1）EH＝FH （2）BH＝EH
方法技巧：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH＝FH，BE∥CF，∠EBH＝∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，
（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．
解析：（1）答：添加：EH＝FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH，
在△BEH和△CFH中，，
∴△BEH≌△CFH（SAS）；
（2）解：∵BH＝CH，EH＝FH，
∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
∵当BH＝EH时，则BC＝EF，
∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．
知识点：矩形的判定．
题目难度：普通
题目分值：6分

.(2014 山东威海 中考) 猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

答案：（1）DM＝DE （2）证明见解析
方法技巧：猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．
（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
（2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明.
解析：（1）猜想：DM＝ME
如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM＝∠HAM，
又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，
在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM＝EM，
在Rt△HDE中，HM＝EM，
∴DM＝HM＝ME，
∴DM＝ME，
故答案为：DM＝ME．
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM＝MF，
∴DM＝AM＝MF，
在RT△AEF中，AM＝MF，
∴AM＝MF＝ME，
∴DM＝ME．.
知识点：四边形综合题.
题目难度：较难
题目分值：11分

.（2014 湖北咸宁 中考）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（－4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．
（1）∠PBD的度数为_______，点D的坐标为_______（用t表示）；
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

答案：（1）45° ，（t，t）（2）t为4秒或（4－4）秒 （3）不变，周长为8
方法技巧：（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ＝AP＝t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．
（2）由于∠EBP＝45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP＝AP＋CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．
（3）由（2）已证的结论EP＝AP＋CE很容易得到△POE周长等于AO＋CO＝8，从而解决问题．

解析：解：（1）如图1，
由题可得：AP＝OQ＝1×t＝t（秒）
∴AO＝PQ．
∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝AB＝BC＝OC，
∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD＝90°．
∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ．
∵AO＝PQ，AO＝AB，
∴AB＝PQ．
在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD．
∴AP＝DQ，BP＝PD．
∵∠BPD＝90°，BP＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°．
∵AP＝t，
∴DQ＝t．
∴点D坐标为（t，t）．
故答案为：45°，（t，t）．

（2）①若PB＝PE，
则∠PBE＝∠PEB＝45°．
∴∠BPE＝90°．
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝∠BPD．
∴点E与点D重合．
∴点Q与点O重合．
与条件“DQ∥y轴”矛盾，
∴这种情况应舍去．
②若EB＝EP，
则∠PBE＝∠BPE＝45°．
∴∠BEP＝90°．
∴∠PEO＝90°－∠BEC＝∠EBC．
在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB．
∴OE＝BC，OP＝EC．
∴OE＝OC．
∴点E与点C重合（EC＝0）．
∴点P与点O重合（PO＝0）．
∵点B（－4，4），
∴AO＝CO＝4．
此时t＝AP＝AO＝4．
③若BP＝BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP＝CE．
∵AP＝t，
∴CE＝t．
∴PO＝EO＝4－t．
∵∠POE＝90°，
∴PE＝＝(4－t)．
延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．
∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC．
∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠EBC＝45°．
∴∠FBP＝∠FBA＋∠ABP＝∠EBC＋∠ABP＝45°．
∴∠FBP＝∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP．
∴FP＝EP．
∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE+AP．
∴EP＝t＋t＝2t．
∴(4－t)＝2t．
解得：t＝4－4
∴当t为4秒或（4－4）秒时，△PBE为等腰三角形．

（3）∵EP＝CE＋AP，
∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8．
∴△POE周长是定值，该定值为8．
知识点：四边形综合题；解一元一次方程；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．
题目难度：较难
题目分值：12分

.(2014 山东临沂 中考) 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．
（1）证明：∠ABE＝30°；
（2）证明：四边形BFB′E为菱形．
答案：见解析
方法技巧：（1）根据点M是AB的中点判断出A′是EF的中点，然后判断出BA′垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE＝BF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A′BE＝∠A′BF，根据翻折的性质可得∠ABE＝∠A′BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证；
（2）根据翻折变换的性质可得BE＝B′E，BF＝B′F，然后求出BE＝B′E＝B′F＝BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明．
解析：证明：（1）∵对折AD与BC重合，折痕是MN，
∴点M是AB的中点，
∴A′是EF的中点，
∵∠BA′E＝∠A＝90°，
∴BA′垂直平分EF，
∴BE＝BF，
∴∠A′BE＝∠A′BF，
由翻折的性质，∠ABE＝∠A′BE，
∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，
∴∠ABE＝×90°＝30°；

（2）∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，
∴BE＝B′E，BF＝B′F，
∵BE＝BF，
∴BE＝B′E＝B′F＝BF，
∴四边形BFB′E为菱形．
知识点：翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质.
题目难度：普通
题目分值：9分

.（2014 四川遂宁 中考）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．

答案：见解析
方法技巧：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DOE＝∠CFE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
解析：证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠DOE＝∠CFE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，

∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形ODFC是菱形．
知识点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
题目难度：普通
题目分值：9分

.（2014 甘肃白银 中考）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

答案：见解析
方法技巧：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
解析：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
同理，GF∥BC，且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：当OA＝BC时，平行四边形DEFG是菱形．
知识点：三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．
题目难度：普通
题目分值：10分

.（2014 福建厦门 中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．

答案：见解析
方法技巧：首先证明∠B＝∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB＝AD，再根据菱形的判定定理可得结论．
解析：证明：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°，∠D＋∠C＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM⊥BC，AN⊥DC，
∴∠AMB＝∠AND＝90°，
在△ABM和△ADN中，

∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形
知识点：菱形的判定．
题目难度：普通
题目分值：6分

.（2014 四川雅安 中考）如图：在□ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC＝BC，求证：四边形ACED为菱形．

答案：
方法技巧：（1）利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC＝CE，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
解析：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
又∵DE∥AC
∴∠ACB＝∠E，
在△ABC与△DCE中，

∴△ABC≌△DCE；

（2）∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∵△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE，
又∵AC＝BC，
∴AC＝CE，
∴四边形ACED为菱形．
知识点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.
题目难度：普通
题目分值：9分

.（2014 江苏淮安 中考）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．

答案：见解析
方法技巧：由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．
解析：证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中

∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO
即EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
知识点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
题目难度：普通
题目分值：8分

.（2014 贵州贵阳 中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．

答案：见解析
方法技巧：（1）根据旋转可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；
（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD＝5，根据菱形的性质可得AF＝FC＝AD＝5，进而可得答案．
解析：（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE＝CE，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D、E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴DF⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝10，
∵D是AB边上的中点，
∴AD＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AF＝FC＝AD＝5，
∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28．
知识点：菱形的判定与性质；旋转的性质．
题目难度：普通
题目分值：10分

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