2017年广州市一模理科数学试题及答案.doc

绝密 ★ 启用前
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应
位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）复数的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
（2）若集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列,
则的值是
（A） （B）
（C） （D）
（4）阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别
是双曲线的左，右焦点, 点在双曲线上, 且, 则等于
（A） （B） （C）或 （D）或
（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是
某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,
且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是

（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知,分别是椭圆的左, 右焦点, 椭圆上存在点
使为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（9）已知成立, 函数是减函数, 则是的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四
个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑, ⊥平面,
，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表
面积为
（A） （B） （C） （D）
（11）若直线与函数的图象相交于点，，
且，则线段与函数的图象所围成的图形面积是
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数, 则的值为
（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13）已知，且，则向量与向量的夹角是 .
（14）的展开式中各项系数和为，则的系数为 .（用数字填写答案）
（15）已知函数 若, 则实数的取值范围是 .
（16）设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有，
则N)的最小值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图, 在△中, 点在边上, .
(Ⅰ) 求;
(Ⅱ) 若△的面积是, 求.
（18）（本小题满分12分）
近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516
亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.
从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为
0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对
商品满意与对服务满意之间有关系”？

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80

对商品不满意

合计

200

(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满
意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.
附：（其中为样本容量）

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

（19）（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形中，//，⊥，⊥, 点是边的
中点, 将△沿折起，使平面⊥平面，连接,,, 得到如
图2所示的几何体.
(Ⅰ) 求证：⊥平面；
(Ⅱ) 若，二面角的平面角的正切值为，求二面角
的余弦值.

图1 图2

（20）（本小题满分12分）
过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .
(Ⅰ) 证明: 为定值;
(Ⅱ) 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试
判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.

（21）（本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当，时, .

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.

（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ) 若，求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若R , 求证：.

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学试题答案及评分参考

评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D
（7）C （8）A （9）B （10）C （11）A （12）B
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
(17) 解:
(Ⅰ) 在△中, 因为,
由余弦定理得, ………………………1分
所以,
整理得, ………………………2分
解得. ………………………3分
所以. ………………………4分
所以△是等边三角形. ………………………5分
所以 ………………………6分
(Ⅱ) 法1: 由于是△的外角, 所以. ………………………7分
因为△的面积是, 所以.…………………8分
所以. ………………………………………………………………………9分
在△中,

,
所以. ………………………………………………………………………10分
在△中, 由正弦定理得, ………………………11分
所以.………………………………………………12分
法2: 作, 垂足为,
因为△是边长为的等边三角形,
所以. ……………7分
因为△的面积是, 所以. ………………………8分
所以. ………………………………………………………………………9分
所以.
在Rt△中, , ……………………………………10分
所以, .
所以
………………………11分

. ……………………………………………………………12分
（18）解：
(Ⅰ) 列联表：

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200

………………………………………………………………………2分
………………………………………3分
因为，
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. …………4分
(Ⅱ) 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，3．
…………………………………………………………6分

. ……………10分

0
1
2
3

的分布列为：

………………………………11分
所以. ………………………………12分
或者:由于，则. ………………………………12分
(19) 解：
(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，
又⊥，所以⊥平面. …………………………………1分
因为平面，所以⊥. …………………………………2分
又因为折叠前后均有⊥，∩, …………………………………3分
所以⊥平面. …………………………………………………………………4分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以二面角的平面角为∠. ……5分
又⊥平面，平面，所以⊥.
依题意. ……………………………………………………6分
因为，所以.
设，则.
依题意△～△，所以，即. ………………7分
解得，故. ………………8分
法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则,,，
，，
所以，.
由（Ⅰ）知平面的法向量.……………………………………………9分
设平面的法向量
由得
令，得,
所以. ………………………………………………10分
所以. ………………………………………………11分
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为. ……………………………………………12分
法2 ：因为⊥平面，
过点作//交于，
则⊥平面.
因为平面，
所以⊥. ………………………………………………………………… 9分
过点作⊥于，连接，
所以⊥平面，因此⊥.
所以二面角的平面角为. ………………………………………10分
由平面几何知识求得
，，
所以.
所以cos∠=. ………………………………………………11分
所以二面角的余弦值为. ………………………………………………12分
（20）解：
(Ⅰ) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.
因为点和在抛物线上, 所以,.
所以直线的方程为. …………………………………1分
因为点在直线上,
所以,即. ………………………………2分
同理, . …………………………………………3分
所以是方程的两个根.
所以. …………………………………………4分
又, …………………………………………5分
所以为定值. …………………………………………6分
法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ………………1分
由消去得,
由, 化简得. ……………………………2分
所以. …………………………………………………………………3分
由,得,所以.
所以直线的斜率为,直线的斜率为.
所以, 即. …………………………………………4分
又, …………………………………………5分
所以为定值. …………………………………………6分
(Ⅱ) 法1：直线的垂直平分线方程为, ……………7分
由于,,
所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分
同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分
由①②解得, ,
所以点. ……………………………………………………10分
抛物线的焦点为 则
由于，……………………………………………………11分
所以
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分
另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分
把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分
法2：设点的坐标为，
则△的外接圆方程为，
由于点在该圆上，
则，
.
两式相减得, ① …………7分
由(Ⅰ)知,代入上式得
, ……………………………………8分
当时, 得, ②
假设以为直径的圆恒过点,则即,
得, ③ ……………………………………………………9分
由②③解得, …………………………………………………10分
所以点. ……………………………………………………11分
当时, 则,点.
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分
（21）解:
(Ⅰ)法1: 函数的定义域为.
由, 得. ……………………………………1分
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增. ………………………2分
当时, . …………………………………………………3分
当, 即时, 又, 则函数有零点. …4分
所以实数的取值范围为. ……………………………………………………5分
法2：函数的定义域为.
由, 得. …………………………………………………1分
令，则.
当时, ; 当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减. ……………………2分
故时, 函数取得最大值. …………………………3分
因而函数有零点, 则. ………………………………………4分
所以实数的取值范围为. …………………………………………………5分
(Ⅱ) 令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, . ………………………………………6分
于是,当时, ① ………………………………………7分
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, . ……………………………………………………………8分
于是, 当时, ② ………………………………………………9分
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时, . ……………………………………………10分
因为所以.
所以. …………………………………………11分
所以, 即. ………………………………………12分
（22）解：
(Ⅰ) 由 消去得, ………………………………………1分
所以直线的普通方程为. ………………………………………2分
由, ……3分
得. ………………………………………4分
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为, ………………………………6分
则点到直线的距离为…………………………7分

………………………………………8分
当时, , ………………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分
法2: 设与直线平行的直线为, ………………………………………6分
当直线与圆相切时, 得, ………………………………………7分
解得或(舍去),
所以直线的方程为. ………………………………………8分
所以直线与直线的距离为. …………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为. ………………………………10分
（23）解：
(Ⅰ) 因为，所以. ………………………………………1分
① 当时，得，解得，所以; ……………2分
② 当时，得，解得，所以; ……………3分
③ 当时，得，解得，所以; ……………4分
综上所述，实数的取值范围是. ………………………………………5分
(Ⅱ) 因为R ,
所以 ……………………………7分
……………………………………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
. ……………………………………………………………………10分
15