高考数学模拟试题(一)理.doc

教育类考试资料
【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则中元素的个数是
A. B. C. D.
2．是虚数单位，复数满足，则
A.或 B.或 C. D.
3．设向量与的夹角为，且，，则＝
A. B. C. D.
4．已知，则
A. B.
C. D.
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为
A.
B.
C.
D.
6．已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件

7．执行如图所示的程序框图，则输出的
A. B. C. D.
8．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则
A. B. C. D.
9．设实数满足约束条件，则的最小值为
A. B. C. D.
10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为
A. B. C. D.
11．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴， 过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为
A. B. C. D.
12．已知函数 ，则使得 成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线与所围成的封闭图形的面积为 .
14．已知是等比数列，，则 .
15．设为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 .
16．已知是函数在内的两个零点，则 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）在中,角所对的边分别为.
已知.
（I）求；
（II）若，的面积为，求.
18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

（I）在答题卡上填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

文科生
理科生
合计
获奖

不获奖

合计

（II）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.
附表及公式：，其中

19.（12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.
（I）证明：平面；
（II）若，求二面角的余弦值.

20.（12分）已知抛物线，圆.
（I）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；
（II）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.

21.（12分）已知函数，.
（I）求函数的最大值；
（II）当时，函数有最小值，记的最小值为，求函数的值域.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求曲线的极坐标方程；
（II）若射线与曲线的公共点分别为，求的最大值．

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）如果对于任意实数，恒成立，求的取值范围．
康杰中学2018年数学（理）模拟试题（一）答案

1. B【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.
2. C【解析】因为，所以
，解得，所以，故选C.
3. A【解析】因为，所以，所以
，故选A.
4．D【解析】因为，所以＝，故选D.
5. B【解析】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选B.
6. A【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则
，所以数列是等差数列.
若数列是等差数列，设其公差为，则，不能推出数列是等差数列.所以数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
7．C【解析】第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得，…，以此类推，知该程序框图的周期3，又知当退出循环，此时共循环了39次，所以输出的，故选C.

8. D【解析】有题，得，，所以，故选D.
9. B【解析】作出可行域，如图所示，因为表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，.故选B.

10. A【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为，则球的半径为，所以所求体积比为，故选A.
11. A【解析】易证得∽，则，即
；同理∽，
，所以，又，所以，整理，得，故选A.
12. D【解析】因为，所以是偶函数，又在单调递减，在单调递增，所以等价于，解得，或.故选D.
13. 【解析】由题意，所围成的封闭图形的面积为.
14. 1【解析】设数列的首项为，公比为，则依题意，有，解得，所以.
15. 【解析】由题意，知 ①，又由椭圆的定义知，＝ ②，联立①②，解得，，所以＝，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为.
16. 【解析】因为，其中
（），由函数在内的两个零点，知方程在内有两个根，即函数与的图象在内有两个交点，且关于直线对称，所以＝，所以.
17. 解：（I）由已知及正弦定理，得

， 4分
因为，所以， 5分
又因为，所以. 6分
（II）由余弦定理，可得，将代入上式，得，解得， 10分
的面积为，解得. 12分
18．解（I）

文科生
理科生
合计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
合计
50
150
200
3分
， 5分
所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. 6分
（II）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为. 7分
的所有可能的取值为，且. 8分
(). 9分
所以的分布列如下

11分
. 12分
19．解：（I）连接，则和都是正三角形，取中点，连接，.
因为为的中点，所以在中，，
因为，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以.
同理，
又因为，所以平面. 6分
（II）以为坐标原点，分别以向量的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，，即，
取平面的法向量. 9分
取平面的法向量. 10分
＝. 11分
所以二面角的余弦值是. 12分

20.解：（I）由题意，得，从而.
解方程组，得，所以. 5分
（II）设，则切线的方程为，
整理得 6分
由得，所以，
整理，得且， 8分
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为，此时. 12分
21.解：（I）的定义域为，.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，取得最大值. 4分
（II），由（I）及得：
①若，，，单调递减，
当时，的最小值. 6分
②若，，，
所以存在，且，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值. 9分
令，. ，
当时，，所以在单调递减，此时，即
. 11分
由①②可知，的值域是. 12分
22．解：（I）曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为. 4分
（II）设，，因为是射线与曲线的公共点，所以不妨设，则，， 6分
所以
， 8分
所以当时，取得最大值. 10分
23．解：（I）.
所以，在上递减，在上递增，
又，故的解集为. 4分
（II）①若，
，
当且仅当时，取等号，故只需，得. 6分
②若，，，不合题意. 7分
③若，
，
当且仅当时，取等号，故只需，这与矛盾. 9分
综上所述，的取值范围是. 10分

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