微分方程在几类实际问题中的应用.doc
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1、 毕业设计(论文)题目名称:微分方程在几类实际问题中的应用院系名称:理学院班 级:数学102学 号:201000134223学生姓名:陈博先指导教师:宋长明2014年 6 月论文编号:201000134223微分方程在几类实际问题中的应用Application of Differential Equation in Several Practical Problems院系名称:理学院班 级:数学102学 号:201000134223学生姓名:陈博先指导教师:宋长明 2014年6 月摘 要在数学上,物质运动和其变化规律是用函数关系进行描述的,但是实际问题中常常不能直接写出反应相应规律的函数,却比
2、较容易建立起这些变量与它们的导数之间的关系式,即微分方程.只有一个自变量的微分方程即为常微分方程,简称为微分方程.本文讨论的是微分方程在实际问题中的应用.微分方程在各个学科领域都可以发挥出其数学优势,将微分方程理论和实际问题结合起来,便可建立实际问题的模型.本文在介绍微分方程应用背景的基础上,结合微分方程的概念性质,利用归纳总结的方法探讨了常微分方程在物理问题、生物问题、军事问题、经济问题和医学问题等“现实生活”中问题的应用,同时结合相应实例进行分析.从这些应用问题中,我们可以看出:微分方程,它确实是数学联系实际的一个活跃分支. 关键词:微分方程;实际问题;应用;数学模型AbstractIn
3、mathematics, the motion of matter and its change rule are described by the relationship of function. But for practical problems , compared with writing the reaction of the corresponding rules directly, establishing the relationship between these variables and their derivatives named differential equ
4、ation becomes relatively easy. Only a variable of differential equation is called ordinary differential equation, for short differential equation.In this paper, we discuss the application about differential equations in the actual problems. Differential equation can perform its mathematical advantag
5、e in various disciplines.Combining differential equation theory and practical problems, we can establish the model of the actual problems.Based on the application background of differential equation and combined with the concept and nature of differential equation,this paper discussed the applicatio
6、n of ordinary differential equation in the field of physics,biology,military,economic and medicine,and so on,with the method of summarizing. From these applications,we can see that differential equation is really a active branch of connetting math and practical problems.Keywords: differential equati
7、ons;the actual problem;application;mathematical model 目 录1引 言12 微分方程简介22.1 微分方程的概念22.1.1微分方程22.1.2微分方程的阶22.2高阶微分方程解法22.2.1可降价高阶微分方程的解法32.2.2线性微分方程解的结构32.2.3二阶常系数齐次线性方程解法42.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法42.3微分方程建立模型的主要方法52.3.1定理规律法52.3.2模拟近似法52.3.3微元分析法52.4微分方程解决问题的基本步骤52.4.1基本步骤52.4.2案例分析53 微分方程在实际问题中的应用73.1 微
8、分方程在物理问题中的应用73.2 微分方程在生物问题中的应用93.3 微分方程在军事问题中的应用103.4微分方程在经济问题中的应用123.4.1新产品推广模型123.4.2价格调整模型133.5 微分方程在医学问题中的应用153.5.1模型153.5.2模型163.5.3模型173.5.4模型19结 论21参考文献22致 谢23III中原工学院理学院毕业论文1引 言客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映,便有变数(或变量)概念.事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的,反映在数学上,就是变量之间的关系,从而又形成了函数的概念.由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出
9、他们的函数,却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知变量直接的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.因而,研究微分方程具有很重要的应用价值和实际意义.本文研究的主要是常微分方程在实际问题中的应用,在生物、物理、化学等学科中都有微分方程的应用.微分方程是数学理论联系实际的重要渠道,它是研究许多自然科学、工程技术以及生物医学技术等实际问题的有力工具.本论文内容由两部分组成:第一部分,通过查阅教材和相关资料收集总结微分方程的定义性质,通过阅读前人文献以及向老师同学请教总结利用微
10、分方程建立模型解决实际问题的方法和基本步骤;第二部分,这一部分总共选择了五个学科领域,通过举例建立模型分析了微分方程分别在物理、生物、军事、经济和医学方面的应用,这一部分选择了与我们生活更加相关联的经济问题和医学问题作为重点,分别从不同方面建立相关的微分方程模型并求解分析其实际意义,这一部分介绍了微分方程解决实际问题的能力及其便利性. 2 微分方程简介在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下,微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用,刺激和推动了一系列应用分支的形成,微分方程理论正是在这一时代背景下应时而兴的.本章简单的介绍了微分方程的相关概念以
11、及微分方程解决问题的步骤和方法.2.1 微分方程的概念2.1.1微分方程许多客观的变化过程包含一定的函数关系,但是这个函数关系一般无法获得.然而,可以根据实际背景和各种有用信息建立起一个包涵未知函数的导数方程.一般的,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,例如下面的方程:在许多问题中,不能够直接求出所需要的函数关系.但是能够根据实际问题的背景与各种客观规律建立起关于未知函数的一个微分方程.研究微分方程就可以求出这个函数,从而获得相关问题的各方面的有用信息.2.1.2微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶.例如,方程的阶数为1;
12、方程的阶数为2.阶数为一的微分方程为一阶微分方程,阶数为二及其以上的微分方程为高阶微分方程,本文主要讨论二阶微分方程.例如的微分方程称为一阶微分方程;为三阶微分方程.2.2高阶微分方程解法对于高阶微分方程的求解,一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些.因为本论文主要用到二阶常微分方程,故本节主要介绍常见的二阶常微分方程的相应的解法.2.2.1可降价高阶微分方程的解法型解法:接连积分n次,即得通解.型特点:不显含未知函数y解法:令,代入原方程,得.型特点:不显含自变量x.解法:令,代入原方程,得.
13、2.2.2线性微分方程解的结构二阶齐次方程解的结构:形如方程的解为:若是解,则也是解;若是两无关解,则是通解.二阶非齐次线性方程解的结构:形如方程的解为:非齐次方程的任两解之差是相应齐次方程的解,则有:非齐次通解=齐次通解+非齐次特解.若,则.若是的特解,则分别是的特解.2.2.3二阶常系数齐次线性方程解法形如的方程即为二阶常系数齐次线性方程,又此类方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.如特征方程为,则其通解如下:表2-1 通解表格特征根的情况通解的表达式实根实根实根2.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法形如的方程即为二阶常系数非齐次线性微分方程,此类方程的解法称为待定系数法.
14、型可设,型可设,其中,是次多项式,.2.3微分方程建立模型的主要方法2.3.1定理规律法在数学、物理、化学等学科领域有许多定理和规律,它们或以文字存在、或以方程存在.比如数学里面的斜率公式、弧长公式,物理里面的牛顿定律、万有引力定律、虎克定律等.这些都有其相应的方程,在解决相关问题的时候,可以以相应的规律方程建立模型求解.2.3.2模拟近似法 在生物、经济、医学等学科领域中,微分方程也能够发挥其便利性和可行性.然而在这些实际问题中,往往给出的数据都是个我们生活息息相关的不确定词,而且大部分又无规律可循.故而此时,我们往往需要对相关数据和变量进行假设模拟,建立相应的微分方程模型求解.2.3.3微
15、元分析法 微元分析法就是利用已知的定理与规律寻找微元直接的关系式,与定理规律法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律.2.4微分方程解决问题的基本步骤2.4.1基本步骤理解题意选择建立模型的方法;根据题意建立常微分方程模型;判断微分方程类型解出模型精确解或近似解或者研究解的性态;解的实际意义.2.4.2案例分析 本小节选择几何里面的一道例题进行分析,题意如下:例1 曲线簇是由微分方程所确定的,求出另一簇曲线,它和前一簇曲线在相交点处均互相垂直,即于交点处切线相互正交.分析 本题是求与已知曲线交点垂直的曲线,故可通过曲线率来求出曲线方程.本题按照定了规律法建立微分方程模型进行求解.解 由
16、题中方程可解出,此簇曲线在点处的切线斜率为:又,所求的曲线簇与之正交,故,此曲线斜率为:整理得:这便是所求的曲线簇的微分方程.模型建立完成,此微分方程是一阶微分方程.下面,我们来解此方程.方程变形为:即解得:,即这是一簇通过原点,且圆心在上的圆.本题是利用微分方程解答几何问题,在几何上的应用主要是用曲线的法线斜率、切线斜率、曲率、曲边梯形面积等来描述一些所求的曲线或者图形的几何特征.3 微分方程在实际问题中的应用 常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等,这些问题都可以通过建立数学模型化为求
17、微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题本章选取了物理、生物、军事、经济和医学五个方面,通过上一章的微分方程解决实际问题的总结,从而举例并研究了微分方程在实际问题的应用.3.1 微分方程在物理问题中的应用 物理学中有很多常用的物理规律,如牛顿运动定律、万有引力定律等.在解物理应用题的时候,我们可以结合微分方程理论与这些物理定律列出相应的微分方程模型,然后求出解并对之分析.我们可以通过以下例题进行相应解析:例2 一子弹以速度垂直地射进一块厚度为10的板,穿透后以速度飞出,假设板对子弹运动的阻力与运动速度的平方成正比,问子弹在板子里经过了多少时间?分析 本题是讨论物体运动规律的物理问题,由此便想到
18、利用定理规律法.由题意可以知道,子弹在木板中只受到一个力,即木板的阻力,为比例系数8.解 设在时刻子弹穿入板的厚度为,由牛顿第二定律知应满足的微分方程是,即这便是本题的微分方程模型,可以看出此模型二阶其次微分方程,相应求解为:其初始条件为:令,则.于是有,.由初始条件,定出,故 (3.1.1)积分得,由定出,故 (3.1.2)注意到式(3.1.1),当时有,即代入式(3.1.2)得从而得到,子弹在板内经过的时间为 本题是牛顿运动学相关的问题,本题采用的是定理规律法利用牛顿第二定律建立的微分方程模型.从本题的结果可知,子弹在木板内经过的时间及其的小,从这些数据我们可以感受物理的奥妙以及微观世界里
19、面强大的力量.3.2 微分方程在生物问题中的应用 生物学不像数学、物理那样有许多规律可用,生物问题是我们生活中典型的实际问题.对于此类问题的分析,数学模型的建立没有那么多的工具可用,故一般需要利用模拟近似法进行求解,我们可以通过下面例题感受微分方程在解决生物问题方面的能力.例3 用微分方程分析生物总数问题.分析 对于生物方面的问题,我们可以采用模拟近似法.本来生物总数只取离散的整数值,绝非时间t的可微函数,因此似乎不能用微分方程来描述其变化,但若事先能肯定这个总算很大,且在短时间内只有少量的增减,则可近似地认为这个总数是t的连续函数,甚至是可微函数,于是可用微分方程来描述.解 设为在时刻t的生
20、物总数,为出生率与死亡率之差.若这种生物是孤立系统,即既无迁出才,有无迁入,则总数的时间变化率为: (3.2.1)这即是描述生物总数变化情况的模型一阶常微分方程.在最简单的模型中,设为常数,得线性方程 (3.2.2)若在某个计算起始时刻统计出总数为,即得初值条件 (3.2.3)模型(3.2.2)与实际情况的偏离较大,通常设,而采用模型 (3.2.4)常数、为生物总数的生命系数.一般说,它们可按统计结果算出.方程(3.2.4)是Bemoulli方程当的情况.当在和为常数时,这个方程可用分离变量法求解设在时刻的生物总数是,将代入上式积分得:或 由此可解出: (3.2.5)由式(3.2.5)可看出,
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