导数各类题型方法总结(绝对经典).doc

第一章 导数及其应用
一， 导数的概念
1..已知的值是（ ）
A. B. 2 C. D. －2
变式1：（ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
变式2： （ ）
A． B． C． D．

导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.
解:由函数 得

（1） 在区间上为“凸函数”，
则 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：
∵ 当时, 恒成立,
当时, 恒成立
等价于的最大值（）恒成立，
而（）是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时 恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
-2
2

例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）

3a
a

a
3a

令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值
题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）∴， 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
解：.
（Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时，，
令，解得：.
列表如下：

(－∞,－2)
－2
(－2,2)
2
(2,+∞)

+
0
－
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
可知：的极大值为， 的极小值为.
（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，
∴，在给定区间R上恒成立判别式法
则 解得：.
综上，的取值范围是.

例5、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
（I）
1、
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
a-1
-1

单调增区间：
单调增区间：
（II）当 则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增 符合题意
2、，
综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，

令得或由（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：

—

↗
极大值
↘
极小值

↗
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ∴，解得
综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网
解：（1）∵的图像过原点，则 ，
又∵是的极值点，则

-1

（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于有含的三个根，即：
整理得：
即：恒有含的三个不等实根
（计算难点来了：）有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根
等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：，∴
（2）设切点Q，

过

令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：；因此所求实数的范围为：
题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例8、

解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令 ， 解得或.
令 ， 解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,
1
要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则， 解得m＞3

例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
解：（1）
当时，令解得，令解得，
所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
（2）有且仅有3个极值点
=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点
其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）
令=0,得
因为，所以可得下表：

0

+
0
-

↗
极大
↘

因此必为最大值,∴因此， ，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数
(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；
(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,
∴
∵ ∴
又∵ 在处的切线与直线平行,
∴ 故
∴ ……………………. 7分
(Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ 即 令, 则
∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE为△ABC的中位线,
∴ 所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 ,
由 得点F的横坐标为:
由 得点G的横坐标为:
∴ 即
解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ 即 令, 则
∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H ,
由 得直线L与AC交点为:
∵ , ,
∴ 所求直线方程为: 或
3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0
得
（Ⅱ）依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3

－

所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
解：（1）

………………………………………………………………………2分

令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，

＋

—

,
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
　 当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（Ⅰ） 若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论：
结论1：；【如图一】
结论2：；【如图二】
结论3：；【如图三】
结论4：；【如图四】
结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】

【例题1】：已知两个函数;
(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围；
(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；
(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围；
解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。
；
当变化时，的变化情况列表如下：

-3
(-3,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,3)
3
(x)

+
0
－
0
+

h(x)
k-45
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
k-9
因为,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).
小结：①对于闭区间I，不等式f(x)<k对x∈I时恒成立[f(x)]max<k, x∈I;不等式f(x)>k对x∈I时恒成立[f(x)]min>k, x∈I.
②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.
（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.
由（1）可知[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞).
(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].
由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120－k.
仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=－21.
由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).
说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..
二、相关类型题：
　〈一〉、型；
　　形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.

例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.
　　解：，∴；即；
　　当时，不等式显然成立，　　∴a∈R.
　　当时，由得：，而
　　.　∴.　　又∵，∴，综上得a的范围是。
　　〈二〉、型
　　例2 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____.
　　解 ∵对任意x∈R，不等式恒成立，
　　∴分别是的最小值和最大值.
　　对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.
　　又函数的周期为4，∴的最小值为2.
　　〈三〉、.型
　　例3： (2005湖北)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是(　　)
　　 A.0　　　　　　B.1　　　　　　C.2　　　　　　D.3
　　解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；
　　〈四〉、.型
　　例4 已知函数定义域为，，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.
　　解：任取，则，由已知，又，∴f，即在上为增函数.
　　∵，∴，恒有；
　　∴要使对所有，恒成立，即要恒成立，
　　故恒成立，令，只须且，
　　解得或或。
　　评注： 形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.
　　〈五〉、.型：
　　例5： 已知，，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围.
　　解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.
　　令，，∵
　　∴，即在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.
　　∴，即。
　　〈六〉、型
　　例6：已知函数，若对任意，都有，求的范围.
　　解：因为对任意的，都有成立，
　　∴，∵，令得x＞3或x＜-1；得；∴在为增函数，在为减函数.
　　∵，∴.∴，∴。
　　〈七〉、（为常数）型；
例7 ：已知函数，则对任意（）都有
恒成立，当且仅当=____，=____时取等号.
　　解：因为恒成立，
　　由，易求得，，∴。
　　例8 ：已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.
　　(1)证明|；
　　(2)证明：对任意，都有.
　　证明 (1)略；
　　(2)由条件(2)知，
　　不妨设，由(3)知，
又∵
；∴
〈八〉、型
　　例9： 已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.
　　解 由，得，
　　当时，，∵，
∴，　　∴　　
评注 由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|或(m＞0)型的不等式恒成立问题.

考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

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