圆锥曲线二轮复习全部题型总结.doc

圆锥曲线
一、 圆锥曲线的定义
1、几何定义：
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
思考：
【做】例1、（14年3月13校联考14题）设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（ ）
（A）圆或椭圆 （B）抛物线或双曲线 （C）椭圆或双曲线 （D）以上均有可能

4、 书本上基本的定义
在平面内
1)圆：到定点的距离等于定长；
2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；
3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；
4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.
二、轨迹方程
1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
2、求动点轨迹方程的几种方法
(1)直接法：(2)定义法：(3)代入法：(4) 参数法：（5）点差法：
典型例题
一：直接法
此类问题重在寻找数量关系。
例1： 一条线段AB的长等于,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程？

二：定义法
例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。

2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支

三：参数法
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。
例1．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

四：代入法
例1.点B是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.

五、点差法
例1直线（是参数）与抛物线的相交弦是，求弦的中点轨迹方程.

三、方程识别
1、 平面直角坐标方程

2、参数方程
（1）圆 （2）椭圆 （3）双曲线 （4）抛物线
经典例题
例1、当m,n满足什么条件时，方程 分别表示圆、椭圆、双曲线？

【做】例2、（2013年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面内的点(不是原点),的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 若是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”（ ）
．一定共线； ．一定共圆；
．要么共线，要么共圆； ．既不共线，也不共圆．
四、 圆锥曲线的概念与几何性质

注：与共渐近线的双曲线方程－（）;

经典例题
例1．椭圆的一个焦点是（0，2），那么k= 。

变式：1．与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的椭圆标准方程是 。

2．双曲线的渐近线为 ; 两渐近线夹角为 。

3．过点（-6，3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为

4.若双曲线的一个焦点是（0，3），则k的值是 。

例2.给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的
距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，
将正确的结果填在下面空格内.　 .

五、点与圆锥曲线位置关系、最值问题
1、位置关系
①几何方法 ②代数方法 ③利用进行范围锁定
2、 最值问题
①一定一动（动点在圆锥曲线上）：利用两点间的距离公式.（圆可用加减半径求解）
②两定一动（其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上）：利用焦点转化（抛物线利用焦点与准线转换）
经典例题
例1. 某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为、短轴长为的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是
例2.已知M是椭圆上的动点，N是圆的动点，求|MN|的最小值

例3.(1)是椭圆上一点，是椭圆右焦点，，求的范围.

(2) 是双曲线上一点，是双曲线右焦点，,求的最小值.

（3）是椭圆上一点，是椭圆右焦点，，求的最小值

六、直线与圆锥曲线位置关系、交点个数
方法一 是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.方程解的个数为交点个数。
方法二是几何的观点（以双曲线为例）
直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

经典例题
例1.已知直线y=kx-1与双曲线,试列出实数k需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点 。

例2.过点P(3,4)与双曲线只有一个交点的直线的条数为 （ ）
A．4 B. 3 C.2 D. 1

例3．若对任意kÎR，直线与双曲线总有公共点，则b范围 。

变式：1.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是
2． 若方程x+k-=0只有一个解，则实数k的取值范围是 _ 。

4.曲线与直线有公共点的充要条件是（ ）
．； ．； ．； ．．

5.已知两点M（—5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|—|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线：①；②；③；④其中为“B型直线”的是 （填上所有正确的序号）

6.已知双曲线方程为与点P(1,2),
（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

七、直线与圆锥曲线的最值、弦长以及面积
1、到定直线的距离最值：方法一：作定直线的平行线与圆锥曲线相切，两平行线之间的距离为最值。
方法二：直接利用参数方程，用点到直线的距离公式来进行解决。
2、弦长问题
若直线与二次曲线的交点为A()和B ()
方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离
方法二：利用弦长公式：=
=
方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆）
注意：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦

3、面积
（1）、普通三角形：（注意）
注意：有时需要将三角形拆成两个三角形.
（2）、焦点三角形：椭圆： ，双曲线：

经典例题
例1．椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．

变式：1、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于 ．

例2. 经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点，若|AB|=4,
则这样的直线存在的条数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　 ）
（A） ４； （B）3；　　　　 （C）2； 　　　（D）１

变式：1.一直线过椭圆的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线的方程为 ；

2.若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（ ）
．； ．； ．； ．．

八、几何意义
常涉及距离和斜率以及截距，另外方程解的问题也会涉及，通常结合圆锥曲线的图像，但要注意变量的范围。
典型例题
例1. 如果实数满足方程，那么的最大值为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
变式：1若方程x+k-=0只有一个解，则实数k的取值范围是 _ _。

2. 若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿.

九、角的大小、垂直问题
1、角：借助向量，转化为坐标运算。
2、垂直问题：（1）斜率乘积为-1 （2）向量数量积为0.
3、与向量有关问题：转化为坐标运算

典型例题
例1．设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

变式：1. 直线的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

【做】2.倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线
F

A
B
C
O
准线上的动点.
（1）△ABC能否为正三角形？
（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围.

十、弦中点问题以及对称问题
弦中点问题：1、韦达定理；2、点差法.
对称问题：垂直、平分。1、韦达定理；2、点差法。
典型例题
例1、如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；

变式：1、已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆中为_______

例2、 若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围

变式：1.若直线L过M(-2,1),交椭圆于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．
十一、存在性问题
1、正面求解：存在或存在几个的问题
2、反面求解：假设存在，再加以计算或证明.
典型例题
【做】例1.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点，这样的正三角形有（ ）

A．0个 B．2个 C．4个 D．1个

（2012.奉贤.文.18.）两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

例2.已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．
变式：1. 已知双曲线方程为与点P(1,2),
（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

2.已知的三个顶点在抛物线:上运动，
1. 求的焦点坐标；
2. 若点在坐标原点， 且 ，点在上，且 ，
求点的轨迹方程；
3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.

3.对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；
（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.

十二、圆锥曲线定点、定值问题
例1.（2012杨浦区二模文22）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求直线的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．

例2.在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：
OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，
求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

变式：1.（2012普陀区二模理23）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足， ．
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值；
（3）对于给定的椭圆，若点是下列三点之一时，是否存在以为一个顶点的“准圆”的内接矩形，使椭圆完全落在该矩形所围成的区域内(包括边界)？若存在，请写出作图方法，并予以证明；若不存在，请说明理由．
说明：对于下列三点只需选做一种，满分分别是①2分，②5分，③7分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① ；
② ；
③ 射线与椭圆的“准圆”的交点．

2.（2013年上海宝山区理科一模23）（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）
　　如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，△的周长为8，且面积最大时，为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：
① 以为直径的圆与轴的位置关系？
y
x
A
B
O
F1
F2
② 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

【做】3.（2014闵行二模理22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．
x
y
A
B
C
D
F0
O
F
第22题图
设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求，的标准方程；
（2）若与交于C、D两点，为的左焦点，求的最小值；
（3）点是上的两点，且，求证： 为定值；反之，当为此定值时，是否成立？ 请说明理由.

十三、圆锥曲线性质的类比及思考
（1） 圆中
①若在圆上，则过的圆的切线方程是.
②若在圆外 ，则过作圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.
③是圆的不平行于x,y轴的弦，为的中点，则，即.
④已知圆，直线交圆于，两点，点是圆上异于，的任一点，且，均存在，则.

（2）椭圆中
①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.
③椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即.

⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则.

（3）双曲线中
①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是.
②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.
③双曲线（）的左右焦点分别为，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即.
⑤已知双曲线，直线交双曲线于，两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则.
经典例题
例1.设、分别为椭圆：的左右两个焦点。
（1） 若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2） 已知椭圆具有性质：若是椭圆：上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在，并记为，那么与的乘积是与点位置无关的定值。试对双曲线写出类似的性质，并加以证明。

变式：1.（2013年上海青浦区一模22） (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点，交直线于点．
（1）若为的中点，求证:；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

2.是的两条弦，直线相交于点，则
与椭圆进行类比： 是椭圆的两条弦，直线相交于点，且直线的倾斜角互补，则

十五、向量以及极坐标与圆锥曲线 （*）
【做】例1.已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；
（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．

例2.已知椭圆的方程为，点P的坐标为（）.
（1）若直角坐标平面上的点、满足，求点的坐标；[来源:学.科.网]
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
(理)（3）对于椭圆上的点 ，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.
(文)（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆 的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标．

x
y
o
3
例3.（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”
上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，
求证：为定值；
（3） 由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且（），试用表示；并求的取值范围.

十五、其他题型
一、探索性问题

1.（松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换将平面内的点变换到平面内的点．若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和．某同学研究后认为曲线具有如下性质：
①对任意的，曲线都关于原点对称；
②对任意的，曲线恒过点；
③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；
④记矩形的面积为，则
其中所有正确结论的序号是 ．

2.（2013闸北二模 理15（倒数第3题））
和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系中，空间曲面的方程是一个三元方程．
设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足
的动点的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程；
（2）指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图．

二、 新定义问题
1、（2011上海高考理23）（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
⑴ 求点到线段的距离；
⑵ 设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① 。
② 。
③ 。

2、（2012.奉贤.文理.23.）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：
1、（理）求线段上一点的距离到原点的“距离”；
（文）求点、的“距离”；
2、（理）定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，
求“圆周”上的所有点到点 的“距离”均为 的“圆”方程；
（文）求线段上一点的距离到原点的“距离”；
3、（理）点、，写出线段的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图像．
（文）定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点、，，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；
（说明所给图形小正方形的单位是1）

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