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浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】、已知函数y=x2-2x-3，
（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；
（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：
（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0

知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点
（1）一般 一般式：
（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应的一元二次方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式： 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。
【例1】、抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】、如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （＞或＜或=）
（2）a的取值范围是

【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A．y = (x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1
C．y = (x − 2)2 − 3 D．y = (x + 2)2 − 3
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
OO
-1O
xO
y
1
3
2
3

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
【例1】、已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,
下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1,有最大值0
C．有最小值－1,有最大值3 D．有最小值－1,无最大值
【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x

性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
【例1】、抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 .
【例2】、二次函数有( )
A． 最大值 B． 最小值 C． 最大值 D． 最小值
【例3】、由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大
【例4】、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
【例5】、下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）．
A．y = x2 B．y = x－１ C． y = x D．y =
【例6】、若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
知识点五、二次函数图象的平移
① 对于抛物线y=ax2+bx+c的平移
通常先将一般式转化成顶点式，再遵循左加右减，上加下减的的原则
化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。
② 沿轴平移：向上（下）平移（m＞0）个单位，变成（或）
③ 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式
：向左（右）平移（m＞0）个单位，变成（或）
【例1】、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( )
A． B． C． D．
【例2】、将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
【例3】、抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
知识点六、抛物线中， a、b、c的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.口诀---左同，右异 （a、b同号，对称轴在y轴左侧）
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴； ③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
【例1】、如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( )
A．a＋b=－1 　B．a－b=－1 C．b<2a　　　D．ac<0
【例2】、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0x
y
-1
1
O
1

【例3】、如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【例4】、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【例5】、如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h

知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）
A
P
B
O

1、两点间距离公式：如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为 （这实际上是根据勾股定理得出来的）
2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，
，中点的坐标为．由，得，
同理，所以的中点坐标为．
3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。
4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）
以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”
【例1】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

【例2】、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

【例3】、如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使⊿BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。

练 习

1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )
A．1．5 m B．1．625 m　　　C．1．66 m D．1．67 m
2、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

4. 如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值

范围是　 　．

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
6. 已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（ ）

A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤
7．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

从上表可知，下列说法中正确的是 　　 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是；　 　　 ④在对称轴左侧，随增大而增大．
8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线经过点A．
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．

9、“已知函数的图象经过点A（c，－2）， ，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。
A
B
C
D
O
E
N
M
x
y
图

11、如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

12、在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，
①图1
图2
图3
…
…
试求出当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式.
y
x
O
C
A
B

1、已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b的取值范围是______． （0≤b<4）
2、如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
3、如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是　　　　.

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