高考数学三角函数知识点总结及练习(2).doc
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三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角终边相同的角的集合 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是、、三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP= 余弦线OM= 正切线AT= 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系: 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 余切 7. 两角和与差的三角函数 8. 二倍角公式——代换:令 降幂公式 半角公式:;; 9. 三角函数的图象和性质 函数 图象 定义域 R R 值域 最值 时 时 时 时 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 周期为 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上都是增函数;在 上都是减函数() 在上都是增函数,在上都是减函数() 在内都是增函数() 10. 函数的图象变换 函数的图象可以通过下列两种方式得到: (1) (2) (二)数学思想与基本解题方法 1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 2. 诱导公式原则:奇变偶不变,符号看象限。 3. 估用公式原则:一看角度,二看名称,三看特点。 4. 角的和与差的相对性 如:- 角的倍角与半角的相对性 如: 5. 升幂与降幂:升幂角减半,降幂角加倍。 6. 数形结合:心中有图,观图解题。 7. 等价转化的思想:将未知转化为已知,将复杂转化为简单,将高级转化为低级。 8. 换元的手段:通过换元实现转化的目的。 【典型例题】 1. 如:(化成一个角的一个三角函数) [例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到? (1) (2) 解: (1),, (2),, , 2.“1”的妙用——凑一拆一 熟悉下列三角式子的化简 ; [例2] 化简 。 答案: 3. 化异为同 [例3] 已知,求: (1) (2) 答案:(1)3;(2) [例4] 已知,求: 答案: 4. 与间的相互转化 (1)若,则;;= (2)若,则; (3) [例5] 化简: 。 答案: [例6] 若在第二象限,,求。 答案: 5. 互为余角的三角函数相互转化 若,则; [例7] 已知,则 。 答案: [例8] 求值: 。 答案: [例9] 求值: 。 答案: 6. 公式的变形及活用 (1) (2)若 [例10] 计算 。 答案: [例11] 。 答案: 7. 角的和与差的相对性;角的倍角与半角的相对性 [例12] 若,则 。 答案:7 [例13] 若,则 。 答案: [例14] 在中,A为最小角,C为最大角,且,,求的值。 答案: 8. 角的范围的限定 由于条件中的三角式是有范围限制的,所以求值时可排除值的多样性。 [例15] 已知,求。 答案: [例16] 若是第二象限角且,求的值。 解法一:利用公式然后限定角的范围。 解法二:设利用平方和求的值,然后限定角的范围。 解法三:利用,可回避限定角的范围。 答案: 9. 在三角形中的有关问题 ;; 结论:; ; [例17] 已知A、B、C是的内角且,试判断此三角形的形状。 答案:等腰三角形,B=C [例18] 在锐角三角形ABC中,求证: 证明:由则 故 同理 三式相加,得证。 10. 形如的化简 [例19] 求值:(1) (2) 答案:(1)(2) 11. 三角函数图像和性质的应用 会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间(“一套”);会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。 [例20] 求下列函数的定义域。 (1) (2) 答案: (1) (2) [例21] 求下列函数的值域。 (1) (2)若是锐角,则的值域。 答案:(1) (2) 12. 可化为形如:的形式(一个角的一个三角函数) [例22] 已知函数,求“一套”。 答案:,定义域:R;值域:,,; 对称轴 增区间: 减区间: 13. 函数的图像的变换——两个题型,两种途径 题型一:已知解析式确定其变换方法 变换有两种途径:其一,先平移后横向伸缩;其二,先横向伸缩后平移。 注:关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系 题型二:由函数图像求其解析式 [例23] 已知函数,(,)在一个周期内,当时,有最大值为2,当时,有最小值为,求函数表达式,并画出函数在一个周期内的简图。(用五点法列表描点) 答案: 14. 可化为形如:,(定义域有限制的一元二次函数) [例24] 求函数的值域 解: [例25] 已知,若记其最大值为,求的解析式。 解:,当时, 当时, 当时, 15. 周期函数与周期 [例26] 已知函数对定义域中每一个都有,其中,则的周期 。 解:T [例27] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立,求其周期。 解:4 [例28] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立,求其周期。 解:8 [例29] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立,求其周期。 解:6 [例30] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ,求其周期。 解:6 16. 函数与方程的思想 [例31] 方程的解的个数 。 解:63 【模拟试题】(答题时间:60分钟) 1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到? 2. 已知,求: 3. 设,则 。 4. 求的最大值和最小值。 5. 求值:。 6. 若;,求 7. 已知、且,,求的值。 8. 为何值时方程有解? 9. 方程,有两解时求的值。 10. 求值: (1) (2) 11. 求下列函数的定义域。 12. 已知函数,当时,求函数的最大值和最小值及何时取到? 【试题答案】 1. ,, , 2. 3. 4. 令,,,, 5. 6. 7. 提示:关键是角的范围的限定,逐层限定角的范围,逐步求细。 解: 又由得,得 则故 8. 9. 10.(1) (2) 11. () 12. 当时,;时,- 配套讲稿:
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- 高考 数学 三角函数 知识点 总结 练习
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