2019年高考数学真题试卷(浙江卷).doc

2019年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.（2019•浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则 =（   ）
A. {-1}                            B. {0，1}                            C. {-1，2，3}                            D. {-1，0，1，3}
2.（2019•浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（   ）
A.                                         B. 1                                        C.                                         D. 2
3.（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值是（   ）
A. -1                                          B. 1                                          C. 10                                          D. 12
4.（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（   ）

A. 158                                       B. 162                                       C. 182                                       D. 32
5.（2019•浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（   ）
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
6.（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=loga(x+ ），（a>0且a≠0）的图像可能是（   ）
A.                                          B. 
C.                                            D. 
7.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P

则当a在（0，1）内增大时（   ）
A. D（X）增大           B. D（X）减小           C. D（X）先增大后减小           D. D（X）先减小后增大
8.（2019•浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（   ）
A. β＜γ，a ＜γ                    B. β＜α，β＜γ                    C. β＜α，γ＜α                    D. α＜β ， γ＜β
9.（2019•浙江）设a，b∈R ， 函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（   ）
A. a＜-1，b＜0                    B. a＜-1，b>0                    C.  a＞-1，b＞0                    D. a>-1，b>0
10.（2019•浙江）设a，b∈R ， 数列{an}，满足a1 =a，an+1= an2+b，b∈N* ， 则（   ）

A. 当b= 时，a10>10                                         B. 当b= 时，a10>10
C. 当b=-2时，a10>10                                            D. 当b=-4时，a10>10
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.（2019•浙江）复数 （i为虚数单位），则|z|=________
12.（2019•浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r，若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2，-1）则m=________，r=________
13.（2019•浙江）在二项式（ +x）9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________

14.（2019•浙江）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD=________.COS∠ABD=________
15.（2019•浙江）已知椭圆 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________
16.（2019•浙江）已知a∈R ， 函数f（x）=ax3-x，若存在t∈R ， 使得|f(t+2）-f（t）|≤ ，则实数a的最大值是________
17.（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1 +λ2 +λ3 +λ4 +λ5 +λ6 |的最小值是________，最大值是________

三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18.（2019•浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ=[0，2x），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x）+ ]2+[f（x+ ）]2的值域
19.（2019•浙江）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1 ， 平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点

（1）证明：EF⊥BC
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
20.（2019•浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=4.a4=S3 ， 数列{bn}满足：
对每个n∈N* ， Sn+bn ， Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N* ， 证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
21.（2019•浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1 ， S2.

（1）求P的值及抛物线的准线方程.
（2）求 的最小值及此时点G点坐标.
22.（2019•浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0
（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围

答案解析部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.【答案】 A
2.【答案】 C
3.【答案】 C
4.【答案】 B
5.【答案】 A
6.【答案】 D
7.【答案】 D
8.【答案】 B
9.【答案】 C
10.【答案】 A
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.【答案】
12.【答案】 -2；
13.【答案】 ；5
14.【答案】 ；
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】 0；
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18.【答案】 （1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．

（2）

．
因此，函数的值域是 ．
19.【答案】 （1）连接A1E ， 因为A1A=A1C ， E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC ，
所以，A1E⊥平面ABC ， 则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB ， ∠ABC=90°，故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.

（2）取BC中点G ， 连接EG ， GF ， 则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC ， 故AE1⊥EG ， 所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1 ， 则平面A1BC⊥平面EGFA1 ，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O ， 则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
连接A1E ， 因为A1A=A1C ， E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC ， 所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC ， EA1为y ， z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.

不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).
因此， ， ．
由 得 ．
20.【答案】 （1）设数列 的公差为d ， 由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．

（2）．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，

．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
21.【答案】 （1）由题意得 ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.

（2）设 ，重心 .令 ，则 .
由于直线AB过F ， 故直线AB方程为 ，代入 ，得
，
故 ，即 ，所以 .
又由于 及重心G在x轴上，故 ，得 .
所以，直线AC方程为 ，得 .
由于Q在焦点F的右侧，故 .从而
.
令 ，则m>0，
.
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）.
22.【答案】 （1）当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．

（2）由 ，得 ．
当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设  ，则
．
（i）当  时， ，则
．
记 ，则
.
故

1

0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以，  ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令  ，则 ，
故 在 上单调递增，所以 ．
由（i）得 ．
所以， ．
因此 ．
由（i）（ii）得对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求a的取值范围是 ．